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Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

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Enunciado

Probabilidade Conjunta

Sejam X e Y v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

f x , y = c . x . y . e - x 2 - y 2     ,     p a r a   x ≥ 0 ,     y ≥ 0

  1. Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade.
  2. Encontre a densidade marginal de X .
  3. Encontre a densidade marginal de Y .
  4. Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .
  5. X e Y são independentes? Por que? Justifique.

Passo 1

Pra que seja uma função de densidade, a integral da função tem que ser 1 .

∫ ∫ c . x . y . e - x 2 - y 2 d x d y

∫ 0 + ∞ c . y . e - y 2   d y ∫ 0 + ∞ x . e - x 2   d x

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...

u = - x 2

d u = - 2 x   d x

x   d x = - d u 2

∫ c . y . e - y 2   d y ∫ 0 + ∞ - 1 2 . e u d u

e - x 2 0 + ∞ . ∫ - 1 2 . c . y . e - y 2 d y

- 1 . ∫ - 1 2 . c . y . e - y 2   d y

∫ 0 + ∞ 1 2 . c . y . e - y 2   d y

Substituição simples de novo...

u = - y 2

d u = - 2 y   d y

y   d y = - d u 2

Substituindo....

∫ 0 + ∞ - 1 4 . c . e u   d u

- 1 4 . c . e - y ² 0 + ∞

= c 4

Como a gente viu, isso tem que ser igual a 1 .

c 4 = 1

c = 4

Passo 2

(b)

Densidade marginal de X é só resolver a integral abaixo.

f x x = ∫ 0 + ∞ 4 x y . e - x 2 - y 2   d y

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...

            u = - x 2 - y 2

d u = - 2 y   d y

Quando y = 0 → u = - x 2 e quando y = + ∞ → u = - ∞ .

f x x = ∫ - x ² - ∞ - 2 x . e u   d u

    = - 2 x . e u - x ² - ∞

                = - 2 x e ∞ - - 2 x . e - x 2

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 2 x . e - x 2    

Passo 3

(c)

Pra marginal de Y é a mesma ideia.

f y y = ∫ 0 + ∞ 4 x y . e - x 2 - y 2   d x

Vamos usar uma substituição simples aí de novo...

            u = - x 2 - y 2

d u = - 2 x   d x

Quando x = 0 → u = - y 2 e quando x = + ∞ → u = - ∞ .

f x x = ∫ - y ² - ∞ - 2 y . e u   d u

    = - 2 y . e u - y ² - ∞

                  = - 2 x e ∞ - - 2 y . e - y 2

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 2 y . e - y 2    

Passo 4

(d)

Temos que encontrar agora a densidade condicional de X dado Y = y .

f X Y = y = f x , y f y

= 4 . x . y . e - x 2 - y 2 2 . y . e - y 2

= 2 . x . e - x 2

Passo 5

(e)

Agora juntamos pra ver se deu certo...

f x x = 2 x . e - x 2

f y y = 2 y . e - y 2

f x x . f y y = 2 x . e - x 2 . 2 y . e - y 2

= 4 x y . e - x 2 - y 2

Que é a mesma coisa que f ( x , y ) .

Isso significa que a afirmativa que a gente fez é verdade e que X e Y são independentes.

Resposta

a   c = 4

b   f x = 2 . x . e - x 2

c   f y = 2 . y . e - y 2

d   f X Y = y = 2 . x . e - x 2

e   S ã o   i n d e p e n d e n t e s

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