Sejam e v.a.’s contínuas com densidade conjunta:
- Encontre a constante que faz desta expressão uma densidade.
- Encontre a densidade marginal de .
- Encontre a densidade marginal de .
- Encontre a densidade condicional de dado .
- e são independentes? Por que? Justifique.
Passo 1
Pra que seja uma função de densidade, a integral da função tem que ser .
Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...
Substituição simples de novo...
Substituindo....
Como a gente viu, isso tem que ser igual a .
Passo 2
(b)
Densidade marginal de é só resolver a integral abaixo.
Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...
Quando e quando .
Como :
Passo 3
(c)
Pra marginal de é a mesma ideia.
Vamos usar uma substituição simples aí de novo...
Quando e quando .
Como :
Passo 4
(d)
Temos que encontrar agora a densidade condicional de dado .
Passo 5
(e)
Agora juntamos pra ver se deu certo...
Que é a mesma coisa que .
Isso significa que a afirmativa que a gente fez é verdade e que e são independentes.