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Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

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Exercício 171234567891011121314151618192021222324

Enunciado

Probabilidade Conjunta

Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:

f x , y = - 3 4 y + 2 x y       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 1

Pede-se:

  1. A marginal de X e de Y .
  2. Densidade condicional de X dado Y = y .
  3. Média condicional de X   dado Y = y .
  4. Variância condicional de X   dado Y = y .

Passo 1

(a)

Na real, a gente vai usar aquelas fórmulas que a gente viu, vamos com calma...

Marginal de X ...

f x = ∫ 0 1 f x , y   d y

= ∫ 0 1 - 3 4 y + 2 x y   d y

= - 3 4 y 1 2 3 2 + 2 x y 2 2 0 1

= - 3 4 × 2 3 + x

= x - 1 2

Passo 2

Marginal de Y :

f y = ∫ 0 2 f x , y   d x

= ∫ 0 2 - 3 4 y + 2 x y   d x

= - 3 4 y . x + 2 x 2 y 2 0 2

= - 3 2 y + 4 y

= 4 y - 3 2 y

Passo 3

(b)

Pra calcular a densidade condicional f X Y = y , vamos aplicar:

f X Y = y = f x , y f y

Os dois a gente já conhece, só fazer mais conta...

= - 3 4 y + 2 x y 4 y - 3 2 y

Pra simplificar, vou multiplicar geral por 4 :

= - 3 y + 8 x y 16 y - 6 y

Passo 4

(c)

Agora a fórmula é:

E X Y = y = ∫ 0 2 x . f ( X | Y = y )   d x

De 0 a 2 porque esses são os limites de x do enunciado.

Esse valor de dentro da integral foi o que a gente achou no item anterior.

= ∫ 0 2 x . - 3 y + 8 x y 16 y - 6 y     d x

= 1 16 y - 6 y ∫ 0 2 - 3 y x + 8 x 2 y   d x

= 1 16 y - 6 y . - 3 y x 2 2 + 8 x 3 y 3 0 2

= 1 16 y - 6 y - 6 y + 64 y 3

= 1 16 y - 6 y × - 18 y + 64 y 3

= - 18 y + 64 y 48 y - 18 y

Simplificando por dois.

= 32 y - 9 y 24 y - 9 y

Passo 5

(d)

A fórmula vai ser:

V a r X Y = y = E X ² Y = y - E X Y = y 2

Guarda isso.. vamos fazer parte por parte... o segundo valor ali que a gente precisa, a gente tem do item anterior. Vamos calcular então pela fórmula, o primeiro.

E X 2 Y = y = ∫ 0 1 x ² . f X Y = y d x

Bem parecido com o item anterior, só que é ao quadrado ali...

= ∫ 0 2 x ² . - 3 y + 8 x y 16 y - 6 y     d x

= 1 16 y - 6 y ∫ 0 2 - 3 y x ² + 8 x 3 y   d x

= 1 16 y - 6 y . - 3 y x 3 3 + 8 x 4 y 4 0 2

= 1 16 y - 6 y - 8 y + 32 y

= - 8 y + 32 y 16 y - 6 y

Simplificando geral por 2 :

= 16 y - 4 y 8 y - 3 y

Passo 6

Pra fechar, junta tudo na fórmula inicial:

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2

V a r X Y = y = 16 y - 4 y 8 y - 3 y - 32 y - 9 y 24 y - 9 y 2

Não vou abrir isso aí não haha, podemos parar por aqui!

Resposta

a   f x = x - 1 2     e       f y = 4 y - 3 2 y

b   - 3 y + 8 x y 16 y - 6 y

c   32 y - 9 y 24 y - 9 y

d   16 y - 4 y 8 y - 3 y - 32 y - 9 y 24 y - 9 y 2

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