Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

Ver Teoria
Exercício 211234567891011121314151617181920222324

Enunciado

Probabilidade e Estatística – PUC-Rio – P2

Seja X , Y um vetor aleatório bivariado com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = 6 x ,     0 < x < y < 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Pede-se: calcular o coeficiente de correlação ρ X , Y .

Observe-se:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Passo 1

Precisamos tomar cuidado para utilizar a formulação relacionada a variáveis aleatórias contínuas.

Antes de passarmos para o objetivo da questão, que é calcular o coeficiente de correlação ρ x y , precisamos calcular a covariância da nossa distribuição.

Mas o que importa mesmo é como calcular a covariância? E aí? Como fazer?

Para isto, podemos aplicar a seguinte relação:

C O V X , Y = E X Y - E X E Y

Mas o que seriam estas funções E X , E Y e E X Y ? Elas são as esperanças (a mesma ideia de uma média). Mas antes de calcularmos estas esperanças, precisamos definir o domínio do nosso problema e calcularmos as densidades marginais.

O domínio da nossa função é dado por 0 < x < y < 1 . Se nós analisarmos mais com calma, iremos perceber que x < y < 1 (pontos acima da reta y = x e abaixo da reta y = 1 ) e que x > 0 (primeiro quadrante). Esta é a nossa região.

Agora, vamos calcular as densidades marginais. Portanto,

f X x = ∫ x 1 f x , y d y = ∫ x 1 6 x d y = 6 x y x 1 = 6 x - 6 x 2 ,   0 < x < 1

f Y y = ∫ 0 y f x , y d x = ∫ 0 y 6 x d x = 3 x 2 0 y = 3 y 2 ,   0 < y < 1

Agora sim, podemos partir para o calcula das esperanças! Para calcularmos as esperanças, podemos utilizar as seguintes relações:

E X = ∫ 0 1 x f X x d x = ∫ 0 1 x 6 x - 6 x 2 d x = ∫ 0 1 6 x 2 - 6 x 3 d x

E X = 2 x 3 - 6 x 4 4 0 1 = 2 - 6 4 - 0 - 0 = 1 2

E Y = ∫ 0 1 y f Y y d y = ∫ 0 1 y 3 y 2 d y = ∫ 0 1 3 y 3 d x

E Y = 3 y 4 4 0 1 = 3 4 - 0 = 3 4

E X Y = ∫ 0 1 ∫ x 1 x y 6 x d x = ∫ 0 1 ∫ x 1 6 x 2 y d y d x = ∫ 0 1 x 2 3 y 2 x 1 d x

E X Y = ∫ 0 1 x 2 3 - 3 x 2 d x = x 3 - 3 x 5 5 0 1 = 1 - 3 5 - 0 - 0 = 2 5

E X Y = 2 5

Conseguem ver o motivo de termos obtido as distribuições marginais? Para calcularmos E X e E Y precisamos destas funções densidades. Então, nós nos adiantamos no problema!

E agora podemos finalmente calcular a nossa covariância que é dada por:

C O V X , Y = E X Y - E X E Y

C O V X , Y = 2 5 - 3 4 ⋅ 1 2 = 2 5 - 3 8 = 1 40

C O V X , Y = 1 40

Passo 2

Agora, podemos partir para o cálculo do coeficiente de correlação ρ x y . Para calcularmos, basta utilizarmos a seguinte fórmula:

ρ x y = C O V X , Y V X ⋅ V Y

Fica claro o motivo de precisarmos calcular a covariância anteriormente, né? O coeficiente de correlação é função da covariância! E como já calculamos este termo, só nos falta as variâncias de cada variável aleatória V X e V Y .

Relembrando, calculamos as variâncias através das seguintes relações:

V X = E X 2 - E X 2

V Y = E Y 2 - E Y 2

Percebem que já calculamos E X e E Y . Agora vamos calcular E X 2 e E Y 2 . É bem fácil, só uma continha a mais. Portanto,

E X 2 = ∫ 0 1 x 2 f X x d x = ∫ 0 1 x 2 6 x - 6 x 2 d x = ∫ 0 1 6 x 3 - 6 x 4 d x

E X 2 = 6 x 4 4 - 6 x 5 5 0 1 = 6 4 - 6 5 - 0 - 0 = 6 20 = 3 10

E Y 2 = ∫ 0 1 y 2 f Y y d y = ∫ 0 1 y 2 3 y 2 d y = ∫ 0 1 3 y 4 d x

E Y 2 = 3 y 5 5 0 1 = 3 5 - 0 = 3 5

Agora que consigamos os valores, é só substituir nas relações da variância. Portanto:

V X = E X 2 - E X 2 = 3 10 - 1 2 2 = 3 10 - 1 4 = 2 40 = 1 20

V Y = E Y 2 - E Y 2 = 3 5 - 3 4 2 = 3 5 - 9 16 = 3 80

Portanto, o coeficiente de correlação é:

ρ x y = C O V X , Y V X ⋅ V Y = 1 40 1 20 ⋅ 3 80 = 1 40 3 1600 = 1 40 3 40 = 1 3

E assim chegamos ao nosso valor final!

Resposta

ρ x y = 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

A variável aleatória X tem uma distribuição de probabilidades: f X ( x ) = x 8 ,0 ≤ x ≤ 4 Encontre a distribuição de probabilidades de Y=(X-2)^2
Mostre que se X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X p forem variáveis aleatoriamente independentes e Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3 + . . . + c p X p V ( Y ) = c 2 1 V ( X 1 ) + c 2 2 V ( X 2 ) + . . . + c 2 p
Considere a situação do Problema 10 do Capítulo 6. Verifique se E(XY) = E(X) E(Y). O que você pode concluir?
Considere a situação do Problema 10 do Capítulo 6. Verifique se X e Y são independentes.
Suponha que X tenha uma distribuição de probabilidades uniformes f X ( x ) = 1 ,1 ≤ x ≤ 2 Encontre a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y=e^x