Exercícios Resolvidos de Equação da Energia e Bernoulli

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Enunciado

Considere a turbina extraindo energia através de um conduto forçado em uma barragem, como na figura abaixo. Para escoamento turbulento em dutos, a perda de carga por atrito é aproximadamente h f = C Q 3 , em que a constante C depende das dimensões do conduto forçado e das propriedades da água. Mostre que, para uma dada geometria de conduto forçado e vazão variável Q do rio, a máxima potência possível da turbina nesse caso é P m á x = 2 g H Q / 3 e ocorre quando a vazão é Q = H / ( 3 C )   .

Passo 1

Nessas questões, temos que primeiro escolher as superfícies que vamos usar para estudar a energia.

Iremos analisar a superfície 1 que é a superfície do maior reservatório e a superfície 2 que é a superfície do líquido após passar pela turbina. Isso vai nos permitir fazer algumas simplificações.

Lembra que quando tratamos de reservatórios vamos considerá-los tão grandes que a altura da superfície não varia? Assim V 1   e   V 2 = 0 .

Vamos colocar nosso eixo na superfície 2 . Assim z 2 = 0 e z 1 = H .

E ambas superfícies estão expostas a pressão atmosféricas.

Então escrevendo a equação de energia temos:

p a t m ρ g + H = p a t m ρ g + h f + h T

Passo 2

E retirando aquele termo que tá repetido dos dois lados:

h T = H - h f

Isolamos o h t porque, afinal, é a potência da turbina que vamos querer estudar. E a potência da turbina está correlacionada com o h t , que é a carga consumida pela turbina.

O enunciado nos definiu que h f = C Q 3 .

h t = H - C Q 3

A potência da turbina a gente viu lá na teoria que é:

P = ρ . g . Q . h t

Então:

P = ρ . g . Q . H - C Q 3

Passo 3

Tudo muito lindo, mas e agora?

O problema fala de pressão máxima, certo? Como descobrimos o máximo de uma função??

Sim, temos que derivar e igualar a zero. Assim:

d P d Q = ρ g H - 4 ρ g C Q 3 = 0

ρ g H - 4 C Q 3 = 0

H - 4 C Q 3 = 0

H = 4 C Q 3

C = H / 4 Q 3

Então descobrimos que a turbina vai ter potência máxima quando C = H / 3 Q 2   .

E nesse caso a potência será de:

P = ρ . g . Q . H - C Q 2

P = ρ . g . Q . H - H 4 Q 3 Q 2

P = ρ g 3 H 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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