UFF – Cálculo IIB – VR – Questão 1
Ache a equação cartesiana de um plano paralelo a de equação cartesiana , que seja tangente ao gráfico da função . Dê o ponto onde o plano tangencia o gráfico de , uma equação cartesiana para o plano e equações paramétricas para a reta normal ao gráfico de no ponto
Passo 1
Isto é, quando o gradiente de uma superfície for múltiplo escalar do gradiente da outra superfície
Tranquilo?
Partiu começar? Relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos primeiramente encontrar os gradientes das duas superfícies
Beleza? Agora a outra
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora esses vetores precisam ser múltiplos escalares um do outro
Da igualdade de vetores temos
Da terceira equação temos que , então substituindo na segunda temos que e usando esses dois valores encontramos da primeira
Achamos as coordenadas e de um ponto, certo? Vamos chamar de !
Achamos o ponto no qual o plano é paralelo ao plano e é tangente ao gráfico de , tudo isso ao mesmo tempo!
Assim para saber todas as coordenadas de
A função
Assim nosso ponto é
Passo 4
Agora com o ponto podemos encontrar tanto o plano quanto a reta normal! Substituindo o ponto na equação do plano
As parciais nós encontramos no passo ,
Agora é só substituir!
Aí temos
Belezinha?
Ainda precisamos encontrar as equações paramétricas das retas! Precisamos de um vetor e um ponto!
O vetor diretor são os coeficientes da equação do plano e o ponto? É o ponto
Beleza? Até a próxima!