1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S : 1 - x^2 - y^2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

a. α(t) = (cos(t), sin(t), 1), t ∈ [0, 2π]

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 1 ,     t ∈ 0,2 π

Está contida na superfície S : 1 - x 2 - y 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

1 - x 2 - y 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

1 - x t 2 - y t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = cos ⁡ t y t = sin ⁡ t z t = 1

Substituindo na superfície S ...

1 - x 2 - y 2 = 0 → 1 - x t 2 - y t 2 = 0

1 - cos ⁡ t 2 - sin ⁡ t 2 = 0

1 - cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 0

Por identidades trigonométricas, sabemos que cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , ou seja

1 - 1 = 0

0 = 0

A igualdade foi satisfeita, logo α t é solução de S , ou seja, a curva está contida na superfície.

Plotando S e α t , temos

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Está contida.

Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

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Exercícios de Livros Relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.y^2 = x^2 + 1 / 9 * z^2
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos P para os quais a distância de P ao eixo x é o dobro da distância de P ao plano y z . Identifique a superfície.
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k, y = k, z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela.16 * x^2 = y^2 + 4 * z^2
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k, y = k, z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela.y^2 = x^2 + z^2