UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 20
Dados os planos , e , encontre uma equação geral do plano que contém e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente encontrar uma equação para um plano P que contenha a interseção entre os dois planos e que seja perpendicular ao plano . Primeiro, vamos obter a equação da reta que é interseção dos dois primeiros planos. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações dadas pelas equações dos dois planos:
Isolando x na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos:
Então, temos que a interseção entre os dois primeiros planos é dada pela reta
Então, queremos que o plano contenha a reta acima. Além disso, queremos que ele seja perpendicular ao plano . Como o plano é paralelo ao plano com equação
Apenas deslocado por um fator -2, temos que o vetor perpendicular ao plano acima também é perpendicular ao plano . Então, temos que o vetor ortogonal à possui coordenadas (a,b,c):
Então, com posse desse vetor e sabendo a equação da reta contida no plano que procuramos, podemos montar a equação do nosso plano. Então vamos lá!
Passo 2
Para gerar um plano precisamos de dois vetores linearmente independentes. Se escolhermos o vetor (1,1,2) como um dos vetores geradores do plano, temos que a condição de ortogonalidade com o plano é automaticamente satisfeita. Então, para o segundo vetor gerador, iremos escolher o vetor diretor da reta de interseção , pois assim essa reta estará contida no plano que procuramos. Para isso, vamos escrever a equação da reta de interseção na sua forma vetorial. Como todos os pontos sobre ela são da forma
Podemos parametrizar a reta na forma:
Da equação acima, vemos que o vetor diretor da reta é o vetor (0,1,1). Assim, podemos escrever a equação do plano, parametrizado por dois parâmetros reais , como
Se fizermos o parâmetro , estamos sobre a reta de interseção. Por outro lado, se fizermos , temos uma reta com vetor diretor dado pelo vetor ortogonal à , e portanto, o plano P, por conter o vetor ortogonal à , é ortogonal a ele.
Agora podemos escrever a equação paramétrica do plano P na forma da equação geral de um plano se observarmos que todos os pontos contidos nessa superfície são da forma:
Então, para cada ponto do plano temos que suas coordenadas se relacionam na forma
Portanto, essa é a equação do plano que contém a reta e que é ortogonal a .