UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 6
Encontre uma equação geral, uma vetorial e uma paramétrica do plano que contém as retas r e s cujas equações na forma simétrica são dadas por r : e s: .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que contém as retas r e s em três formas: uma equação geral, uma vetorial e uma paramétrica. Primeiro, vamos escrever as equações das duas retas na forma vetorial para determinar seus vetores diretores. Dada as equações de r e s, temos as seguintes relações para as coordenadas dos pontos contidos nelas:
Então, podemos escrever as equações dessas retas na forma vetorial como:
Da equação acima, vemos que as retas se interceptam no ponto com coordenadas (1,0,0), se fizermos z = 0 e x = 1. Além disso, temos que os vetores diretores das retas r e s são, respectivamente, (2,2,1) e (1,1,1).
Então, para garantir que essas duas retas estão contidas no plano que queremos determinar, podemos utilizar seus dois vetores diretores para gerar o plano! Então bora lá!
Passo 2
Como um plano pode ser gerado por dois vetores linearmente independentes e como os vetores (2,2,1) e (1,1,1) são linearmente independentes, podemos escrever a equação vetorial do plano que contém as retas como:
Na forma paramétrica, podemos escrever todas as coordenadas (x,y,z) em função dos parâmetros acima, como
Das equações paramétricas acima, vemos que existe a seguinte relação entre as coordenadas dos pontos do plano:
Ou, alternativamente, podemos escrever essa equação na forma geral como
Encontramos então a equação do plano que contém as duas retas nas três formas pedidas!