1.4. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S : 1 - x^2 - y^2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

c. α(t) = (cos(t), 0, sen(t)), t ∈ [0, 2π]

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = cos ⁡ t , 0 , sin ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π

Está contida na superfície S : 1 - x 2 - y 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

1 - x 2 - y 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

1 - x t 2 - y t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = cos ⁡ t y t = 0 z t = sin ⁡ t

Substituindo na superfície S ...

1 - x 2 - y 2 = 0 → 1 - x t 2 - y t 2 = 0

1 - cos ⁡ t 2 - 0 2 = 0

1 - cos 2 ⁡ t = 0

A igualdade não foi satisfeita, logo α t não é solução de S , ou seja, a curva não está contida na superfície.

Plotando S e α t , temos

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Não está contida.

Exercícios Resolvidos de Equação do Plano

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados