1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S: x^2 + y^2 - z^2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

c. α(t) = (t, 1/2 - t^2/2, 1/2 + t^2/2), t ∈ R

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = t , 1 2 - t 2 2 , 1 2 + t 2 2 ,     t ∈ R

Está contida na superfície S : x 2 + y 2 - z 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = t y t = 1 2 - t 2 2 z t = 1 2 + t 2 2

Substituindo na superfície S ...

x 2 + y 2 - z 2 = 0 → x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

t 2 + 1 2 - t 2 2 2 - 1 2 + t 2 2 2 = 0

Simplificando a equação

t 2 + 1 4 - t 2 2 + t 4 4 - 1 4 + t 2 2 + t 4 4 = 0

t 2 + 1 4 - t 2 2 + t 4 4 - 1 4 - t 2 2 - t 4 4 = 0

Eliminando os temos opostos...

t 2 - t 2 2 - t 2 2 = 0

t 2 - t 2 = 0

0 = 0

Portando α t é solução de S , logo está contida na superfície...

Plotando S e �� t , temos

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Está contida.

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