1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S: x^2 + y^2 - z^2 = 0 . Verifique a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.

e. α(t) = (1, sec(t), tg(t)), t ∈ ]-π/2, π/2[

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos saber se a curva α t dada por

α t = 1 , sec ⁡ t , t g t ,     t ∈   ] - π 2 , π 2 [

Está contida na superfície S : x 2 + y 2 - z 2 = 0 .

Sabe como verificamos isso? 🤔

O segredo é substituir α t em S e verificar se a equação formada possui solução.

Por exemplo, a superfície S é dada pela equação

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Já a curva α t é dada genericamente por

α t = x t , y t , z t

Assim reescrevendo S como

x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

Sacou a ideia? 😉

Passo 2

No nosso caso, a partir de α t , temos

x t = 1 y t = sec ⁡ t z t = t g t

Substituindo na superfície S ...

x 2 + y 2 - z 2 = 0 → x t 2 + y t 2 - z t 2 = 0

1 2 + sec ⁡ t 2 - t g t 2 = 0

1 + s e c 2 t - t g 2 t = 0

Por relações trigonométricas, sabemos que s e c 2 t - t g 2 t = 1 , portanto

1 + 1 = 0

2 = 0

A igualdade não foi satisfeita, logo α t não está contida em S .

Plotando S e α t , chegamos em

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Não está contida.

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