03) A placa quadrada A B C D , de lado 2 a e densidade superficial ρ , está soldada a uma segunda placa quadrada de lado a e densidade superficial ρ ' . O centro O conjunto é apoiado em A e C e articulado às barras de peso desprezível E D e B F , conforme indicado na figura. Sabendo-se que o peso da peça única constituída pelas duas placas homogêneas é P e que o seu centro de massa G se situa na posição ( 0 , a 4 , 0 ) , pede-se:

a) Determinar ρ e ρ ' em função de P e dos demais dados fornecidos;

b) Desenhar os diagramas de corpo livre da placa e das barras;

c) Determinar, em função de P , as reações nos apoios A e C e as forças nas barras E D e B F .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos uma placa grandona sobre a qual é soldada uma placa menor. O problema é que elas possuem densidades superficiais diferentes, ρ e ρ ' , respectivamente.

a) Nesse primeiro item, devemos determinar o valor de ρ e ρ ' . Geralmente, quando temos uma placa homogênea é só fazer:

ρ = M A

Onde M é a massa da placa e A a área superficial. Mas e nesse caso que temos duas placas diferentes, o que dá pra ser feito?

Então, a ideia é fazer um ajuste nas equações. Tipo, a massa total das placas, por exemplo, é dada por:

M t o t a l = M p 1 + M p 2

M p 1 é a massa da placa maior, e pode ser calculado como uma placa homogênea normal, daí:

M p 1 = ρ ⋅ 2 a 2

Analogamente para a placa menor:

M p 2 = ρ ' ⋅ a 2

No enunciado, a massa total é dada através do Peso.

M t o t a l = P / g

⇒ P g =   4 ρ a 2 +   ρ ' a 2         ( I )

Outra equação que podemos usar é a do centro de massa. Sabemos que, em y por exemplo, a posição do centro de massa é dada por:

y C M = y 1 ⋅ M p 1 + y 2 ⋅ M p 2 M t o t a l

y 1 está bem no centro da placa grande, ou seja, na origem. Já y 2 está no meio da placa menor, ou seja, no meio do quadrado A ' B ' C ' D ' , assim y 2 = a 2 .

Escrevendo a equação, e sabendo que pelo enunciado y C M = a / 4 , temos:

a 4 = 0 ⋅ 4 a 2 ρ + a 2 ⋅ ρ ' a 2 P g

Daí, vem que:

2 P 4 g ⋅ 1 a 2 = ρ '

∴ ρ ' = P 2 a 2 g

Logo, pela equação ( I ) :

P g = 4 ρ a 2 + P 2 a 2 g ⋅ a 2

ρ = P 8 a 2 g

Prontinho! 😉

Passo 2

b) Nesse item precisamos desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) das barras e do conjunto de placas soldadas.

Começando pelas barras, ambas estão sendo tracionadas (ou comprimidas) ao longo do seu eixo, de modo que podemos desenhar:

Já para a estrutura das placas, temos basicamente a força peso atuando no seu centro de massa, e as reações dos nós A , B ,   C e D . Daí:

Passo 3

c) Aqui a questão nos pede para encontrar as reações nos apoios A e C e as forças nas barras E D e B F .

A ideia é escrever as equações de equilíbrio da placa, em X , Y e Z . Além das equações dos momentos, que também são nulos. Assim, olhando para o DCL da placa, temos:

∑ F X = 0 ∴ X C = 0       ( I )

∑ F Y = 0 ∴ Y C + Y A = 0       ( I I )

∑ F Z = 0 ∴ Z C + F B F + F D E - P = 0       ( I I I )

Ainda precisamos de mais 3 equações, pois temos 6 variáveis. Daí:

M X = 0 ∴ F B F ⋅ a - F D E ⋅ a - P ⋅ a 4 + Z C ⋅ a = 0       ( I V )

M Y = 0 ∴ F B C ⋅ a - F D E ⋅ a - Z C ⋅ a = 0       ( V )

M Z = 0 ∴ Y A ⋅ a +   - X C ⋅ a - Y C ⋅ a = 0       ( V I )

De ( V I ) , vem que:

Y A = Y C

Substituindo esse resultado em I I , temos:

Y A = Y C = 0

De ( V ) , temos:

F B C = F D E + Z C

Substituindo esse resultado em I V , temos:

2 Z C ⋅ a = P a 4

⇒ Z C = P 8

Massa! Substituindo ambos resultados em I I I , temos:

P 8 + F D E + P 8 + F D E - P = 0

2 F D E = 3 P 4

F D E = 3 P 8

Pra finalizar mais uma questãozinha, é só encontrar F B C :

F B C = F D E + Z C

F B C = P 8 + 3 P 8 = P 2

Onde os sentidos propostos inicialmente estavam corretos 😊

Prontinho, galera! Matamos mais uma questão.

Espero vocês na próxima, tamo junto 😊

Resposta

a) ρ ' = P 2 a 2 g

ρ = P 8 a 2 g

b) Resolução no texto.

c) Resolução no texto.

Exercícios Resolvidos de Equilíbrio em Três Dimensões

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