Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Barras Horizontais

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Enunciado

Uma haste longa e fina de massa M e comprimento L é livre para girar sobre um ponto localizado a L / 4 de seu comprimento. A haste é posicionada na posição horizontal, como mostrado na figura 6 , por um fio preso na extremidade:

(b) Calcule a tensão, T no fio que suporta a haste.

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos localizar a posição do centro de massa dessa barra.

Como a haste é longa e fina, vamos considerar que a massa é uniformemente distribuida.

Assim, temos que o centro de massa se localiza no centro da haste. Ou seja, à uma distância L / 2 da extremidade da barra:

Logo, a distância d entre os eixos que passam pelo centro de massa e pelo pivô será:

d = L 2 - L 4

d = L 4

Passo 2

Okay, pra que fizemos isso?

Ah, porque agora podemos analisar as forças sobre a haste, incluindo a força peso:

Como a haste está em equilíbrio, temos duas condições:

F R = 0 τ R = 0

Mas repara que escrevendo a equação de equilíbrio de forças, teremos duas incógnitas:

P - N - T = 0

Como não conhecemos nem a força Normal N , nem a força de tração T , não conseguimos resolver o problema.

Assim, vamos recorrer ao torque...

Vamos calcular o torque resultante com relação ao pivô, pois dessa maneira o torque de N é nulo e não entra na equação:

τ R = 0

τ N + τ P + τ T = 0

Como já dito, a força normal está aplicada no próprio eixo de rotação, assim seu torque é nulo:

0 + τ P + τ T = 0

τ P + τ T = 0

Passo 3

Vamos calcular esses torques.

Além disso, vamos definir o sentido anti-horário como positivo e horário como negativo, por uma questão de escolha mesmo.

Como a força peso está perpendicular ao braço de alavanca (distância ao eixo), seu torque será dado pela distância ao eixo vezes a força peso. Já o seu sentido, será negativo, já que a força tenta girar a haste no sentido horário:

τ P = - d P

τ P = - L 4 M g

Enquanto isso, o torque da força de tração também será dado pelo módulo da distância ao eixo vezes o módulo da força, já que ela também é perpendicular ao braço de alavanca:

τ T = r T T

O sentido agora será positivo, já que a força tenta girar a haste no sentido anti-horário.

Já a distância do ponto de aplicação à força r T será dado pelo comprimento todo da barra L menos o comprimento da extremidade após o pivô L / 4 :

r T = L - L 4

r T = 3 L 4

Assim, o torque da força de tração será:

τ T = 3 L 4 T

Passo 4

Voltando ao somatório de torques, temos:

τ P + τ T = 0

- L 4 M g + 3 L 4 T = 0

3 L 4 T = L 4 M g

T = M g 3

Assim, encontramos o valor da força de tração no fio.

Resposta

(b) T = M g 3

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