Exercícios Resolvidos de Escoamento Laminar e Turbulento e Perda de Carga

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Enunciado

Considere o escoamento de fluidos incompressíveis e imiscíveis em regime permanente, entre duas placas paralelas como mostrado na figura ao lado. A placa superior se move a velocidade U 0 para a direita enquanto a placa inferior fica parada. Na metade inferior, ou seja, região entre as placas ( 0 ≤ y ≤ h / 2 )   escoa um fluido com massa específica ρ 1 e viscosidade μ 1 , e na metade superior h 2 ≤ y ≤ h escoa outro fluido com massa específica ρ 2 e viscosidade μ 2 . Admitindo distribuição linear de velocidades nos escoamentos descritos, pedem-se:

1.2. As distribuições de velocidades das regiões 1 e 2: u 1 y = f ( y ) para 0 ≤ y ≤ h / 2 e u 2 y = f ( y ) para h 2 ≤ y ≤ h

Passo 1

Bem, o enunciado nos deu uma dica muito super e mega valiosa que é: assuma distribuição linear de velocidade!!! Opaaaa, isso já nos diz o seguinte, de alguma forma eu vou precisar encontra distribuição de velocidades nas quais devem ter a cara de uma equação linear, ou seja, uma equação da reta do tipo y = a x + b .

Além disso, quando temos uma distribuição linear, a tensão de cisalhamento pode ser descrita na forma de variação Δ , ou seja, ao invés de escrevermos que:

τ 1 = μ 1 d u 1 d y = μ 1 U 1 Δ y

E quem é esse Δ y na região 1? Δ y = h / 2

τ 1 = μ 1 U 1 h 2 = c t e

A gente igualou isso a uma constante, pois a velocidade e Δ y são constantes, além da própria viscosidade do fluido, certo?

Podemos fazer algo semelhante para a região 2,

τ 2 = μ 2 U o - U 1 h 2

Note que na região 2 temos um Δ U , uma vez que a placa está a uma velocidade e o fluido dentro do tubo está a velocidade U 0

Passo 2

Na interface, sabemos que uma das condições é não escorregamento, ou seja, τ 1 = τ 2 e como são valores constantes, seguimos que τ y = c t e = C , não importando qual seja o valor de y que estejamos olhando na região dentro do tubo, beleza?

μ 1 d u 1 d y = μ 2 d u 2 d y = C

Temos então que:

μ 1 d u 1 d y = C

Integrando, temos:

u 1 y = C μ y + C 1

Onde podemos utilizar a condição de aderência para calcular C1, tal que em y = 0 ,   u y = 0

0 = 0 + C 1 → C 1 = 0

Fazendo o mesmo para a região 2, temos:

u 2 y = C μ 2 y + C 2

Também utilizando a condição de aderência, temos que em y = h , u 2 y = U 0 e portanto, temos que:

U 0 = C μ 2 h + C 2 → C 2 = U 0 - C μ 2 h

Passo 3

Agora vamos olhar para nossa interface entre os fluidos, nessa região a gente sabe que u 1 = u 2

Ou seja, substituindo as constantes nos perfis de velocidade, temos:

u 1 = C μ 1 y

u 2 = C μ 2 y + U 0 - C μ 2 h

Qual a finalidade estar se fazendo essa contarada toda? Bem, a gente precisa encontrar o valor de C para obtermos o perfil de velocidade por completo. Note que u 1 = u 2 quando y = h 2 , portanto quando igualarmos esses dois perfis, precisaremos substituir y

C μ 1 h 2 = C μ 2 h 2 + U 0 - C μ 2 h  

C μ 1 h 2 + C μ 2 h 2 = U 0

C = 2 U 0 μ 1 μ 2 h μ 1 + μ 2

Portanto, ao final temos que os perfis de velocidade são:

u 1 y = 2 U 0 μ 2 h μ 1 + μ 2 y

u 2 y = U 0 1 + 2 μ 1 h μ 1 + μ 2 y - h

Resposta

u 1 y = 2 U 0 μ 2 h μ 1 + μ 2 y

u 2 y = U 0 1 + 2 μ 1 h μ 1 + μ 2 y - h

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