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Exercícios Resolvidos de Escoamento Laminar e Turbulento e Perda de Carga

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Enunciado

UPS – Mecânica dos fluidos – 2019.2 – P1. 1c

Um dispositivo posicionador de uma polia utiliza um cilindro com diâmetro interno Dc com um pistão em seu interior com diâmetro Dp, conforme esquema da figura. Os movimentos de rotação e de translação do pistão são lubrificados por filme fino de óleo.

São conhecidos:

  • Viscosidade cinemática do óleo, v = 5 × 10 - 5   m 2 / s
  • Massa específica do óleo ρ = 800   k g / m ³
  • Diâmetro do cilindro, D c = 100   m m e do pistão, D p = 99   m m
  • Comprimento do cilindro, B = 100   m m
  • Rotação do cilindro: 6000   r p m
  • Desprezar o atrito entre o eixo girante, onde o pistão está vinculado, e o cilindro

Pede-se:

(c) Para o movimento de ajuste da posição da polia, o pistão cessa sua rotação e se desloca com velocidade longitudinal de V x = 20   m / s , qual a expressão literal para determinar a potência associada a este movimento de translação.

Passo 1

Vamos adotar nossas hipóteses pra começarmos a meter a mão na massa, beleza?

Vamos considerar então:

  1. Lâmina de óleo de espessura muito pequena, ou seja, podemos considerar um perfil linear de velocidade dentro dessa espessura.
  2. Excentricidade do cilindro e do pistão desprezível, pois a espessura de camada de óleo pode ser considerada constante.
  3. Regime permanente, o que implicará que a velocidade angular é constante

A potência será calculada como sendo:

P o t = F   V x

Onde F é a força cisalhante.

Passo 2

Como a espessura de óleo é pequena, temos o perfil de velocidade linear, o que implica dizer que

τ = μ d v d y = ρ ν Δ v Δ y

Note que v = μ ρ

A diferença de velocidade será dada pela velocidade longitudinal até a outra extremidade onde se tem a condição de não deslizamento, certo?

Δ v = V x - 0

Logo, temos que:

τ = ρ v V x Δ y

Mas quem é Δ y ? É a diferença do tamanho dos raios, certo?

Δ y = D c - D p 2

Ok, chegamos a conclusão então que:

τ = 2 ρ ν V x D c - D p

Passo 3

Na forma diferencial, sabemos que a força cisalhante é dada por:

d F = τ d A

Ao integrar considerando área constante, temos:

F = τ A

Onde a área é dada por: A = 2 π r B = D p π B

Consequentemente a força cisalhante é:

F = 2 ρ ν V x D c - D p   D p π B = 2 π ρ ν V x D p B D c - D p

Passo 4

Por fim, a potência então pode ser calculada:

P o t = F V x = 2 π ρ ν V x 2 D p B D c - D p

Resposta

P o t = 2 π ρ ν V x 2 D p B D c - D p

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