Exercícios Resolvidos de Escoamento Laminar e Turbulento e Perda de Carga

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Enunciado

Um dispositivo posicionador de uma polia utiliza um cilindro com diâmetro interno Dc com um pistão em seu interior com diâmetro Dp, conforme esquema da figura. Os movimentos de rotação e de translação do pistão são lubrificados por filme fino de óleo.

São conhecidos:

  • Viscosidade cinemática do óleo, v = 5 × 10 - 5   m 2 / s
  • Massa específica do óleo ρ = 800   k g / m ³
  • Diâmetro do cilindro, D c = 100   m m e do pistão, D p = 99   m m
  • Comprimento do cilindro, B = 100   m m
  • Rotação do cilindro: 6000   r p m
  • Desprezar o atrito entre o eixo girante, onde o pistão está vinculado, e o cilindro

Pede-se:

  1. Para situação de equilíbrio longitudinal (na direção x), em que o único movimento é de rotação, determinar uma expressão literal que permite calcular a potência dissipada no atrito viscoso que ocorre no óleo em função da velocidade angular ω ,   D c ,   D p ,   v   e ρ . Apresente as hipóteses adotadas.

Passo 1

Vamos adotar nossas hipóteses pra começarmos a meter a mão na massa, beleza?

Vamos considerar então:

  1. Lâmina de óleo de espessura muito pequena, ou seja, podemos considerar um perfil linear de velocidade dentro dessa espessura.
  2. Excentricidade do cilindro e do pistão desprezível, pois a espessura de camada de óleo pode ser considerada constante.
  3. Regime permanente, o que implicará que a velocidade angular é constante

A potência será calculada como sendo:

P o t = C   ω

Onde esse “C” é o conjugado que é obtido a partir da força de cisalhamento. Então nossa ideia é encontrar esse cara, pois conhecemos o valor da velocidade angular.

Passo 2

Como a espessura de óleo é pequena, temos o perfil de velocidade linear, o que implica dizer que

τ = μ d v d y = ρ ν Δ v Δ y

Note que v = μ ρ

A diferença de velocidade será dada pela velocidade angular até a outra extremidade onde se tem a condição de não deslizamento, certo?

Δ v = ω D p 2 - 0

Logo, temos que:

τ = ρ v ω D p 2 Δ y

Mas quem é Δ y ? É a diferença do tamanho dos raios, certo?

Δ y = D c - D p 2

Ok, chegamos a conclusão então que:

τ = ρ ν ω D p D c - D p

Passo 3

Na forma diferencial, sabemos que a força cisalhante é dada por:

d F = τ d A

Ao integrar considerando área constante, temos:

F = τ A

Onde a área é dada por: A = 2 π r B = D p π B

Consequentemente a força cisalhante é:

F = π ρ ν ω D p 2 B D c - D p

Passo 4

O conjugado é dado pela seguinte fórmula:

C = F R = F D p 2

Logo,

C = π ρ ν ω D p 3 B 2 D c - D p

Por fim, a potência então pode ser calculada:

P o t = C ω = π ρ ν ω 2 D p 3 B 2 D c - D p

Resposta

P o t = C ω = π ρ ν ω 2 D p 3 B 2 D c - D p

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