Exercícios Resolvidos de Escoamento Laminar e Turbulento e Perda de Carga

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Enunciado

Óleo SAE 10 a 20°C ( ρ o = 870   k g / m ³ , μ = 0,104   P a . s ) escoa no interior do tubo vertical liso de 30 mm de diâmetro interno mostrado na figura. O desnível do manômetro de mercúrio ( ρ H g = 13600   k g / m ³ ) é de 420 mm, conforme mostrado na figura. A aceleração da gravidade é de 9,8 m/s². Determine:

  1. Partindo das equações integrais de conservação de massa e quantidade de movimento, obtenha o perfil de velocidades do escoamento. Desenvolva a expressão literal e substitua os valores no final.

Passo 1

Para tirarmos o perfil de velocidade, vamos inicialmente considerar o escoamento plenamente desenvolvido, em regime permanente, num tubo vertical de raio R = 15   m m . Como temos o movimento na direção y , podemos escrever a equação da quantidade de movimento nesta direção, certo?

F S y + F B y = ∂ ∂ t ∫ V C ρ u d V + ∫ S c ρ u V → ⋅ d A

Onde os dois termos do lado direito são cancelados por conta das nossas hipóteses, beleza? Ao final então a gente tem:

F S y = - F B y

Passo 2

Vamos agora admitir que nosso escoamento é axissimétrico, ou seja, ∂ ∂ θ = 0 e analisaremos um Vc que é um anel circular diferencial, se liga no desenho ai abaixo, onde a região pontilhada é o volume de controle, VC.

Agora olhando pra esse desenho, quais são as forças que estão atuando sobre nosso volume de controle?

Note que esse desenho é como se você estivesse olhando o volume de controle por cima, mas ele tem também a parte debaixo que é a base desse Vc e as laterais também. Então vamos lá, quais são as forças que atuam na face superior e inferior desse Vc? Você concorda comigo que são as forças normais à superfície? E que força normal é essa? TCHARAAAAMMMM, a força de pressão, que é dada por d F p = p d A , certo?

Pois bem, na superfície superior, temos então:

d F s = p 2 π r d r

Na superfície da base desse Vc nós teremos a pressão p, mais um gradiente de pressão, certo?

d F b = - p + ∂ p ∂ y d y 2 π r d r

Passo 3

Agora, analisa comigo as paredes desse volume de controle. Não tem mais forças normais atuando nessas paredes, pelo contrário, agora nós temos forças cisalhantes que estarão atuando, pois são forças paralelas à superfície causadas pelo próprio escoamento do fluido.

A força de tensão cisalhante é dada por:

d F d A = τ r y → d F = τ r y d A

Logo, para a parede interna temos:

d F i = - τ r y 2 π r d y

Note que aqui temos um sinal de menos por conta da direção do crescimento do eixo radial, que é de dentro pra fora. Como essa força está atuando na direção oposta do crescimento do eixo, temos o sinal negativo.

Para a parede externa, temos:

d F e = τ r y + ∂ τ r y ∂ r d r 2 π r + d r d y

Passo 4

As forças de corpo por sua vez são dadas por:

d F B y = - ρ o g 2 π r d r d y

Então, o somatório das forças superficiais será dado por:

d F S y = d F s + d F b + d F i + d F e = - F B y

Lembrando que temos:

F S y = - F B y

- ∂ p ∂ y 2 π r d r d y + τ r y 2 π d r d y + d τ r y d r 2 π r d r d y = ρ o g 2 π r d r d y

Mas você deve tá aí se perguntando, ué...cadê o termo d τ r y d r 2 π d r d r d y . Esse termo vem lá do dFe quando a gente fizer a distributiva. Bem, dr é um termo infinitesimal muito pequeno, quando a gente fizer drdr = dr², esse termo se torna menor ainda e totalmente desprezível. Por isso a gente some com ele no nosso somatório de forças, ok?

Agora, vamos dividir nossa igualdade por 2 π r d r d y

∂ p ∂ y + ρ o g = τ r y r + d τ r y d r = 1 r d r τ r y d r

Passo 5

Como a gente viu, não há escoamento na direção radial, portanto p não varia com r e podemos integrar em relação a r:

∫ d r τ r y d r d r = ∫ r d p d y + ρ o g d r

r τ r y = r 2 2 d p d y + ρ o g + C 1  

Para um fluido newtoniano, temos: τ r y = μ d v d r

Portanto, substituindo temos:

μ d v d r = r 2 d p d y + ρ o g + C 1 r

Integrando mais uma vez, temos:

v = r 2 4 μ ∂ p ∂ y + ρ o g + C 1 μ l n r + C 2

Passo 6

Agora, precisamos usar condições de contorno pra resolver esse rolê todo aí, certo?

A primeira e mais conhecida de todas é a condição de não deslizamento nas paredes estáticas do tubo, ou seja, v R = 0 .

A outra condição que temos é que, considerando escoamento laminar, tem-se que no centro do tubo d v d r ​ r = 0 = 0 , ou também conhecida como “velocidade finita no centro do tubo”.

A condição de velocidade finita, nos dará que C 1 = 0

Por sua vez, a condição de não deslizamento dará C 2 = - R 2 4 μ ∂ p ∂ y + ρ g o

Desta forma,

v = r 2 4 μ d p d y + ρ o g - R 2 4 μ d p d y + ρ o g = 1 4 μ d p d y + ρ o g r 2 - R 2

Substituindo os valores dados, temos:

v = 1 4 × 0,104 - 77975 3 + 870 × 9,8 r 2 - 0,015 2

v r = 41985 × 2,25 × 10 - 1 - r 2       m s

Resposta

v r = 41985 × 2,25 × 10 - 1 - r 2       m s

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