P3 de Álgebra Linear 2 da USP - 2018

01) Seja um espaço vetorial real munido de um produto interno e seja um operador linear simétrico. Se e são vetores de tais que e , então é igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

02) Considere munido do produto interno usual. Se é o operador linear simétrico que tem como autovalor e que satisfaz , então a soma dos elementos na segunda coluna de é:

A)

B)

C)

D)

E)

03) Seja . A cônica de equação é um par de retas concorrentes se, e somente se, for igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

05) Seja . Sabendo que é solução do sistema de equações diferenciais , pode-se afirmar corretamente que o determinante de é igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

07) Considere as seguintes matrizes

, ,

e seja uma matriz que tem e como autovalores. São diagonalizáveis sobre .

A) e , apenas.

B) e , apenas.

C) e , apenas.

D) e , apenas.

E) e .

06) Seja um inteiro maior do que . Considere as seguintes afirmações sobre uma matriz .

Se diagonalizável sobre , então é também diagonalizável sobre .

. Seja o operador linear do espaço vetorial complexo tal que . Se é autovalor de , então

Seja o operador linear do espaço vetorial real tal que Se é diagonal e uma base ortonormal de em relação ao produto interno usual, então é diagonal.

Está correto o que se afirma em:

A) apenas.

B) apenas.

C) e , apenas.

D) e , apenas.

E) e apenas.

09) Seja um operador linear do espaço vetorial complexo tal que .

Sabendo que possui autovalores distintos e que é um autovetor de , qual dos seguintes vetores de certamente não é um autovetor de

A)

B)

C)

D)

E)

08) Considere as matrizes e Sabendo que é uma matriz diagonal, é correto afirmar que a soma dos elementos na segunda coluna de é igual a

A)

B)

C)

D)

E)

09) Seja um operador linear do espaço vetorial complexo tal que .

Sabendo que possui autovalores distintos e que é um autovetor de , qual dos seguintes vetores de certamente não é um autovetor de

A)

B)

C)

D)

E)

10. Sabendo que e são raízes do polinômio característico da matriz e que o auto-espaço de associado ao autovalor é gerado pelo vetor , pode-se afirmar corretamente que uma base para o espaço vetorial formado pelas soluções reais do sistema de equações diferenciais é dada por

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

11. Seja um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, seja um operador linear e sejam , e autovalores de dois a dois distintos. Para cada , denote . Considere as seguintes afirmações:

I. Se e , então é simétrico.

II. Se é simétrico, então e .

III. Se é diagonalizável, , , são os únicos autovalores de e valem as inclusões e , então é simétrico.

Está correto o que se afirma em

(A) II e III, apenas.

(B) I, II e III.

(C) I e III, apenas.

(D) II, apenas.

(E) I, apenas.

12. Em , com o produto interno usual, seja um operador linear cujos autovalores distintos são , e e que satisfaz e . Considere as seguintes afirmações:

I. certamente não é simétrico.

II. Se é simétrico, então existem tais que com .

III. certamente é diagonalizável, e existem tais que com .

Está correto apenas o que se afirma em:

(A) II.

(B) II e III.

(C) I.

(D) I e III.

(E) III.