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P1 de Álgebra Linear 2 da USP - 2016

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Álgebra Linear 2 - USP

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno . , .   e considere as seguintes afirmações:

I )   Se e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de V e se v ∈ V é tal que v , e i = 0 , para i = 1,2 , . . , n , então v = 0

I I ) Se S é um subespaço de V e se e 1 , e 2 , … ,   e m   ∈ S são vetores dois a dois distintos tais que e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de S, então

p r o j S   v = p r o j e 1 v + p r o j e 2 v + … + p r o j e n v

Para qualquer v ∈ V

I I I )   Se v , w   ∈ V , λ ∈ R , v ≠ 0 e λ ≠ 0 , então:

p r o j λ v   w = λ   p r o j v   w

Assinale a alternativa correta:

a )   Apenas as afirmações I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras

b )   Apenas as afirmações I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras

c )   Apenas as afirmações I I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras

d ) Apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira

e ) Todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

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Sejam V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e S um subespaço de V . Se v ∈ V , w ∈ S ⊥ e z ∈ S são vetores não nulos tais que v = 4 w + 7 z , então o vetor de S mais próximo de v é:

a )   v - p r o j z v ;

b )   z ;

c )   p r o j w v ;

d )   7 z ;

e ) - 7 z .

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Considere o espaço vetorial P 2 ( R ) munido do produto interno definido por:

p , q = p - 1 q - 1 + p 0 q 0 + p 1 q 1 ,     p , q ∈ P 2 ( R )

Se

S = 2 + t - t 2 , - 3 + t 2

E a , b ∈ R são tais que 1 + a t + b t 2 ∈ S ⊥ , então a + b é igual a:

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Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e considere as seguintes afirmações:

I   para quaisquer v , w ∈ V , vale que v + w = v + w se, e somente se, v e w são linearmente dependentes;

I I   para quaisquer v , w ∈ V , vale que v , w = v w se, e somente se, v = 0 ou existe λ ≥ 0 tal que w = λ v ;

I I I   para quaisquer v , w ∈ V e qualquer subespaço S   de V , vale que se v , w = 0 e w ∈ S ⊥ , então v ∈ S

Assinale a alternativa correta:

a )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b ) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c ) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

d ) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

e )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras.

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Sejam V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ , S um subespaço de V e v , w   ∈ V tais que v - w ∈ S e w ∈ S ⊥ . Pode-se afirmar que:

a )   v , w =   v ;

b )   v = 0 ;

c )   v , w = 0 ;

d )   v , w = w 2 ;

e )   v ∈ S ⊥

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Sejam V   e W espaços vetoriais de dimensão finita e T : V → W uma transformação linear. Considere as seguintes afirmações:

I se T é injetora, então dim ⁡ V ≤ dim ⁡ W ;

( I I ) se dim ⁡ V ≤ dim ⁡ W , então T é injetora;

( I I I ) se T é sobrejetora, então dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W .

Assinale a alternativa correta:

a )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b ) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

c )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

d )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

e ) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.

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Sejam n ≥ 1 um inteiro, V um espaço vetorial de dimensão n munido de um produto interno ∙ , ∙ e B = v 1 , v 2 , … ,   v n com v 1 , v 2 , … , v n   ∈ V não nulos e dois a dois distintos. Considere as seguintes afirmações:

( I ) se o conjunto B é ortogonal, então B é uma base de V ;

I I se B é uma base de V, então o conjunto B é ortogonal;

( I I I ) o conjunto B é ortogonal se, e somente se, a matriz

v 1 , v 1 v 1 , v 2 ∙ ∙ ∙ v 1 , v n v 2 , v 1 v 2 , v 2 ⋯ v 2 , v n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n , v 1 v n , v 2 ⋯ v n , v n

Tem determinante positivo

Assinale a alternativa correta:

a ) apenas a afirmação ( I I I ) é necessariamente verdadeira;

b )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

c )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

d ) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

e ) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

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Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 e T :     V → V uma transformação linear não nula tal que

T T v = 0 ,

Para todo v ∈ V . Considere as seguintes afirmações:

I dim ⁡ K e r T = 1 ;

I I dim ⁡ I m T = 2 ;

I I I   I m T = K e r T .

Assinale a alternativa correta:

a ) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

b )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

c ) apenas a afirmação ( I I I ) é necessariamente verdadeira;

d )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

e )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

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Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e seja S o subespaço de R 4 definido por:

S = 2,1 , - 1,2 , - 1,2 , - 2 , - 1 .

Se v ∈ S e w ∈ S ⊥ são tais que

6 , - 4,2 , 2 = v + w

E se w = ( a , b , c , d ) , então a + b + c + d é igual a:

a ) - 4 ;

b ) - 6 ;

c )   2 ;

d )   8 ;

e ) - 2 .

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Considere a função ∙ , ∙ definida por:

p , q = p ' 0 q ' 0 + p ' 1 q ' 1 + p ' 2 q ' 2 + p ' 3 q ' 3 ,     p , q ∈ P 3 R .

Assinale a alternativa correta:

a )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p , q   ∈ P 3 ( R ) e λ   ∈ R tais que λ p , q ≠ λ p , q ;

b )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p ∈ P 3 ( R ) não nulo tal que p , p = 0 ;

c )   ∙ , ∙ é um produto interno em P 3 R ;

d )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p , q   ∈ P 3 ( R ) tais que p , q ≠ q , p

e )   ∙ , ∙ não é um produto interno em P 3 ( R ) , pois existem p , q   ∈ P 3 ( R ) tais que p + q , r ≠ p , r + q , r

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Considere o espaço vetorial P ( R ) munido do produto interno definido por:

p , q = ∫ 0 1 p t q t d t ,         p , q ∈ P ( R )

Se a , b ∈ R são tais que q t = a + b t é o elemento de P 1 ( R ) mais próximo de p t = t 4 , então a + b é igual a:

a ) 1 5 ;

b ) 2 5 ;

c ) 3 5 ;

d ) 4 5 ;

e )   1

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Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e considere as seguintes afirmações:

( I ) para quaisquer v , w ∈ V , vale que:

v + w 2 + v - w 2 = 2 ( v 2 + w 2 )

( I I ) para quaisquer v , w   ∈ V , vale que v   é ortogonal a w se, e somente se, v + w = v - w ;

( I I I ) Se S 1   e   S 2 são subespaços de V tais que S 1 ⊂ S 2 , então S 1 ⊥ ⊂ S 2 ⊥ .

Assinale a alternativa correta:

a )   Apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

b )   todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c )   apenas as afirmações I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

d )   apenas as afirmações I I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

e )   apenas as afirmações I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

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Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e seja B = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 uma base de R 4 . Suponha que C = w 1 , w 2 , w 3 , w 4 seja a base ortogonal obtida a partir de B pela aplicação do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Se v 4 = ( - 1,3 , 1,1 ) e w 4 = ( - 2,1 , 0,1 ) , então p r o j [ w 1 , w 2 , w 3 ]   v 4 é igual a:

a )   ( 1,1 , 2,1 )

b )   2,1 , 1,3

c )   ( 1,2 , 1,0 )

d )   ( - 1,2 , - 1 , - 4 )

e )   ( 0,1 , 1 , - 1 )

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Seja T : P 3 R   → M 2 ( R ) a transformação linear definida por:

T a + b t + c t 2 + d t 3 = a + d b - c c + d a - b ,     a , b , c , d ∈ R

Assinale a alternativa correta:

a ) dim ⁡ K e r T = 2 ;

b ) T é injetora;

c ) dim ⁡ I m T < dim ⁡ K e r T ;

d )   T é sobrejetora;

e ) dim ⁡ I m T = 3 .

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Seja T :     M 2 ( R ) → R 3 a transformação linear definida por:

T a b c d = a - b + c - d , a - b , c - d ,     a , b , c , d ∈ R

Assinale a alternativa correta:

a )   T é sobrejetora;

b )   K e r T = 1 1 0 0 , 0 0 - 1 - 1 ;

c ) dim ⁡ K e r T = 3 ;  

d ) dim ⁡ K e r T = 1 ;  

e )   I m T = 1,1 , 0 , ( 1,0 , 1 )  

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Seja W um subespaço de R 3 de dimensão 2 e seja T : R 3 → R 3 a transformação linear definida por:

T x , y , z = - x - 2 y - 3 z ,   x + 2 y + 3 z ,   3 x + 6 y + 9 z ,       x , y , z ∈ R .

Considere as seguintes afirmações:

( I ) existe um vetor v ≠ 0 em K e r T ∩ W ;

( I I ) existe um vetor v ≠ 0 em I m T ∩ W ;

( I I I ) T T v = T ( v ) , para todo v ∈ R 3 .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

c) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

d) apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

e) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira.

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Listas de Exercícios Resolvidos

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