USP, Álgebra Linear 2, P3-2018, Questão 01
01) Seja um espaço vetorial real munido de um produto interno e seja um operador linear simétrico. Se e são vetores de tais que e , então é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Faaala galera, tudo certinho com vocês?
Nessa questão temos um operador linear simétrico de em , onde é um espaço vetorial. e são vetores de tais que:
Além disso, também é falado que .
O objetivo do exercício é determinarmos .
Eaí, alguma ideia pra começar?
Então, sempre que a gente quer calcular a norma de um vetor devemos nos lembrar do produto interno, pois:
Além disso, é importante notar que e são autovetores associados a autovalores diferentes ( e , respectivamente). Daí, podemos concluir que e são L.I, logo:
Beleza! Agora vamos pras contas!
Passo 2
Partindo do nosso produto interno, temos:
Pela propriedade da transformação linear, sabemos que:
Assim:
Mas, como vimos no primeiro passo, e são autovalores associados a e , respectivamente. Daí:
Pelo axioma da aditividade do produto interno, podemos separar essa soma:
Substituindo , temos:
Já tá ficando bonito! Pra melhorar um pouco mais, bora usar o axioma da homogeneidade, que permite colocar as constantes para fora do produto interno! Daí:
Mas e . Assim:
Daí:
Portanto:
Prontinho, gente! Essa até que foi bem rápida. Espero vocês na próxima 😉
Resposta
Letra A: .