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P2 de Álgebra Linear 2 da USP - 2018

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Álgebra Linear 2 - USP

Sejam B e C duas bases de V 3 , e u → ∈ V 3 . Se u → = - 1,1 , - 1 B e :

M B , C = 1 - 2 1 2 - 3 - 1 - 1 1 3

A matriz de mudança de base, então temos:

  1. u → = 10,6 , 1 C ;
  2. u → = - 4 , - 4 , - 1 C ;
  3. u → = - 3 ,   - 4 ,   - 1 C ;
  4. u → = - 4 ,   - 6 ,   - 1 C ;
  5. u → = 20,6 , 1 C ;

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Considere a transformação linear T : P 3 ( R ) → P 2 R , dada por

T p x = p x + 1 - p x

Para todo p x   ∈ P 3 ( R ) , e seja A a matriz de T em relação as bases

B = 3,2 + x , x 2 , x 3   e   C = 1 , x , 3 - x + x 2

De P 3 R   e   P 2 ( R ) , respectivamente. Então, a soma dos elementos da segunda linha de A é igual a

a   8 ,     b   5 ,     c   0 ,     d - 3 ,                   e - 4

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Seja T : R 4 → R 4 o operador linear tal que:

i   K e r T = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4     : x 1 + x 2 - x 3 = x 3 + x 4 = 0 ;

i i   o   p o l i n ô m i o   c a r a c t e r í s t i c o   d e   T   é   p t = t 4 - t 2 ;

i i i   0,1 , 0,0 ∈ K e r T + I ,   o n d e   I   d e n o t a   o   o p e r a d o r   i d e n t i d a d e   d e   R 4 ;

i v   1,1 , 1,0   é   a u t o v e t o r   d e   T .

Então, T 0,1 , 2,3 é igual a

a   ( 5,11,5 , 0 )

b   ( 0,0 , - 2,3 )

c   ( 2,3 , - 6,5 )

d   ( 0,0 , - 6,5 )

e   ( - 1 , - 8 , - 1,0 )

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Seja V o espaço vetorial das funções f : 0,1   → R contínuas, munido do produto interno

f , g = ∫ 0 1 f x g x d x

Seja T operador linear de V definido por T f x = f 1 - x , com x ∈ [ 0,1 ] , para todo f ∈ V . Considere as seguintes afirmações:

I . T   é   s i m é t r i c o

I I .   1   é   u m   a u t o v a l o r   d e   T .

I I I .   T   é   i n j e t o r

Está correto o que se afirma em

a   I , I I   e   I I I

b   I I I ,   a p e n a s

c   I   e   I I ,   a p e n a s

d   I I   e   I I I ,   a p e n a s

e   I I ,   a p e n a s

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Considere as seguintes afirmações sobre operadores lineares S e T definidos em um mesmo espaço vetorial com produto interno.

I .     S e   S   e   T   s ã o   s i m é t r i c o s   e   S   ∙ T = T ∙ S ,   e n t ã o   o   o p e r a d o r   S ∙ T   é   s i m é t r i c o .

I I .   S e   T   é   s i m é t r i c o   e   i n v e r s í v e l ,   e n t ã o   T - 1     é   s i m é t r i c o .

I I I .     S e   S   e   T   s ã o   s i m é t r i c o s   e   S ∙ T = T ∙ S ,   e n t ã o   S   e   T   p o s s u e m   o s   m e s m o s   a u t o v a l o r e s

Está correto o que se afirma em

a   I   e   I I ,   a p e n a s .

b   I I   e   I I I ,   a p e n a s

c   I   e   I I I ,   a p e n a s

d   I I ,   a p e n a s

e   I ,   I I   e   I I I .

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Considere R 3 com o produto interno usual. Sejam a , b   ∈ R , e considere o operador linear T : R 3 → R 3 definido por

T x , y , z = 3 x + 2 a + 6 y , - a x + 3 y + b z , 2 b y + 4 z ,

Para todo x , y , z ∈ R 3 . Se T é simétrico, então o produto dos autovalores de T é igual a

a   20

b   10

c - 30

d   8

e   0

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Seja T :     R 5 → R 5 um operador linear cujos polinômios característicos é p t = - t 3 ( t + 1 ) ( t - 3 ) . Denote o operador identidade de R 5 por I. Qual das seguintes afirmações é falsa?

a   S e   T   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   e n t ã o dim ⁡ I m T + dim ⁡ I m T + I + dim ⁡ I m T - 3 I = 5 .

b   V a l e dim ⁡ K e r T + I = 1 .

c   S e dim ⁡ I m T = 3 ,   e n t ã o   T   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l .

d   V a l e dim ⁡ K e r T + dim ⁡ K e r T + I + dim ⁡ K e r T - 3 I ≤ 5

e   S e   v ∈ R 5   é   t a l   q u e   T v = 2 v ,   e n t ã o   v   é   o   v e t o r   n u l o .

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Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n e seja T : V → V um operador linear cujo polinômio característico é p t = a - t b - t n - 2 , em que a e b são números reais distintos. Sejam v , w   ∈ V vetores não nulos tais que T v = a v   e   T w = b w . Detone o operador identidade de V por I. Qual das seguintes afirmações é FALSA?

a   O   v e t o r   v + w   é   u m   a u t o v e t o r   d e   T

b   O   c o n j u n t o   v , w   é   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e .

c   O s   ú n i c o s   a u t o v a l o r e s   d e   T   s ã o   a   e   b .

d   S e   K e r T - a I = v , e n t ã o   T   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l .

e   S e   T   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   e n t ã o   e x i s t e   u ∈ V   t a l   q u e   T u = a u   e   u , v   é   l i n e a r m e n t e  

i n d e p e n d e n t e

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Seja n um inteiro positivo, e considere as seguintes afirmações sobre o operador linear T : P n R → P n ( R ) definido por T ( p x = x p ' ( x ) , para todo p x ∈ P n ( R ) , em que p ' ( x ) denota a derivada de p ( x ) .

I .   O   o p e r a d o r   T   é   d i a g o n a l i z á v e l .

I I .   A   s o m a   d o s   a u t o v a l o r e s   d e   T   é   n n + 1 2

I I I .   O   o p e r a d o r   T   é   i n v e r s í v e l .

Está correto o que se afirma em

a   I   e   I I ,   a p e n a s

b   I I   e   I I I ,   a p e n a s

c   I   e   I I I ,   a p e n a s

d   I I ,   a p e n a s

e   I , I I   e   I I I .

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Sejam a , b   ∈ R . Sobre a matriz A =   a b 0 0 1 2 0 0 2 , é correto afirmar que

a   s e   A   é   d i a g o n a l i z á v e l   e   b ≠ 0 ,   e n t ã o   a ≠ 1   e   a ≠ 2

b   s e   b = 0 ,   e n t ã o   A   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l .

c   A   é   s e m p r e   d i a g o n a l i z á v e l

d   s e   a = 2 ,   e n t ã o   A   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   q u a l q u e r   q u e   s e j a   b .

e   s e   a = 1 ,   e n t ã o   A   é   d i a g o n a l i z á v e l   q u a n d o   b = 1 .

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Considere as seguintes afirmações sobre uma matriz A   ∈ M 3 R de polinômio característico p t = - t 3 + 4 t 2 - 5 t + 2 .

I .   A   é   i n v e r t í v e l ;

I I .   A   é   n e c e s s a r i a m e n t e   d i a g o n a l i z á v e l ;

I I I .   - 2   é   u m   a u t o v a l o r   d e   A

Está correto o que se afirma em:

a   I   a p e n a s ,             b   I , I I   e   I I I ,           c   I   e   I I I   a p e n a s ,           d   I I   a p e n a s ,     e   I I   e   I I I   a p e n a s

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Se A ∈ M 2 ( R ) é tal que ( 1,1 ) é um autovetor de A associado ao autovalor 1 e (1,2) é um autovetor de A associado ao autovalor 3, então a soma dos elementos da primeira coluna de A 99 é igual a

a   4 - 3 100 ,     b   1 + 3 99 ,     c - 2 + 3 99 ,     d   3 + 3 100 ,     e - 2 - 3 100

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Seja n   um interno maior do que 1 e seja A ∈ M n ( R ) . Suponha que A seja diagonalizável e que todos os seus autovalores tenham valor absoluto menos do que 1. Considere as seguintes afirmações:

I .   - 1 < det ⁡ A < 1 .

I I .   T o d o s   o s   a u t o v a l o r e s   d e   A   t ê m   m u l t i p l i c i d a d e   g e o m é t r i c a   n e c e s s a r i a m e n t e   i g u a l   a   1

I I I .     A   m a t r i z   A - I n   é   i n v e r t í v e l .

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Sabendo que 7 é um autovalor de multiplicidade algébrica 3 da matriz A =   3 - 2 0 4 0 6 0 4 0 0 7 0 4 2 0 3 , pode-se afirmar corretamente que também é autovalor de A o número

a - 2 ,     b   0 ,     c - 1 ,     d   3 ,     e   6

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Sejam F e G os operadores lineares de R 2 tais que

F B = 1 0 0 2     e     G C = - 1 0 1 1 ,

Em que B denota a base canônica de R 2 e C = { 1,0 , 1,1 } .

Se G   ∙ F 1,1 = ( a , b ) , então a + b   é igual a

a   3 ,     b   0 ,     c   1 ,     d   2 ,     e   4 .

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Sejam α , β ∈ R . Sobre a matriz A =   1 1 α 0 0 β 0 0 1 , está correto afirmar que ela

a   é   d i a g o n a l i z á v e l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   α = - β

b   é   d i a g o n a l i z á v e l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   α = β

c   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   q u a i s q u e r   q u e   s e j a m   α   e   β

d   é   d i a g o n a l i z á v e l   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   α = β = 0

e   n ã o   é   d i a g o n a l i z á v e l ,   q u a i s q u e r   q u e   s e j a m   α   e   β

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Seja n   um inteiro maior do que 1 e seja A   ∈ M n ( R ) . Se 1,1 , … ,   1 é um autovetor de A associado ao autovalor λ , então

a   A   s o m a   d a s   c o l u n a s   d a   m a t r i z   A - λ I n   é   o   v e t o r   n u l o .

b   A   s o m a   d a s   l i n h a s   d a   m a t r i z   A   é   o   v e t o r   n u l o

c   A   s o m a   d a s   c o l u n a s   d a   m a t r i z   A   é   o   v e t o r   n u l o

d   A   s o m a   d a s   l i n h a s   d a   m a t r i z   A - λ I n   é   o   v e t o r   n u l o

e   A   s o m a   d o s   e l e m e n t o s   n a   d i a g o n a l   p r i n c i p a l   d a   m a t r i z   A - λ I n   é   z e r o .

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