USP, Álgebra Linear 2, P3-2018, Questão 02
02) Considere munido do produto interno usual. Se é o operador linear simétrico que tem como autovalor e que satisfaz , então a soma dos elementos na segunda coluna de é:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Eaí gente, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos um operador linear simétrico do no , que possui como autovalor. Além disso, é dito que:
Mas:
Portanto, também é autovalor de .
O exercício nos pede para determinar a soma dos elementos da segunda coluna de , a matriz da transformação linear .
Pra começar a resolução, vocês lembram de algo que associe os autovalores e autovetores de uma transformação com a matriz da transformação?
É justamente a diagonalização de uma matriz! Pois, como aplicação da diagonalização podemos escrever que:
Onde P é a matriz que envolve os autovetores e D os autovalores.
Passo 2
Bom, antes de podermos usar a nossa fórmula e calcular , precisamos determinar os autovetores de . Já sabemos que:
, possui autovetor .
Já . Logo, como temos um operador linear simétrico, dado que os autovalores são diferentes os autovetores associados devem ser ortogonais. Como o produto interno usual é aplicado no e chamando de o autovetor associado a , temos:
Logo, o autovetor vale:
Assim, encontramos na realidade o autoespaço gerado pelo autovetor ).
Passo 3
Agora temos que representam uma base ortogonal do .
Para encontrar a base ortonormal do e daí escrever a nossa matriz , basta dividir cada vetor pelo seu módulo. Assim, temos a seguinte base ortonormal:
Daí, para escrever a matriz basta colocar esses termos nas colunas dessa matriz. Logo:
Logo:
Já a matriz dos autovalores é simplesmente:
Pronto! Usando agora a nossa fórmula, temos:
Logo:
Portanto, a soma dos elementos da segunda coluna vale:
Prontinho! Matamos mais uma questão!
Já vamo aproveitar o embalo e ir pra próxima.
Resposta
Letra A: