USP, Álgebra Linear 2, P3-2018, Questão 03
03) Seja . A cônica de equação é um par de retas concorrentes se, e somente se, for igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Faaaalaa galerinha, como vocês estão?
Nessa questão temos uma cônica de equação:
Ela tem uma equação meio esquisita porque está rotacionada (sempre que há o termo na equação temos uma cônica rotacionada).
O objetivo desse exercício é determinar de modo que essa cônica seja um par de retas concorrentes. Tudo beleza até aqui?
Massa! A grande dificuldade desse tipo de questão é o fato da cônica estar rotacionada, pois a sua equação não fica com a cara de nenhuma das curvas clássicas que conhecemos (reta, parábola, elipse, etc).
Por isso, precisamos “desrotacionar” a cônica.
Hahaha! Basicamente vamos descobrir qual a equação dessa cônica quando ela não está rotacionada, e a partir disso vamos verificar a condição de para que ela seja um par de retas concorrentes.
Vamo simbora!
Passo 2
Pra começar, vamos relembrar a equação geral das cônicas:
Comparando com a equação dada para a nossa cônica temos que:
Massa! Agora precisamos calcular o ângulo no qual essa cônica foi rotacionada, será que tem uma formulinha pra isso?
Simm, com certeza! O ângulo de rotação, segue:
Puts, mas . Isso significa que tende pro infinito. Logo:
Bouaaa! Já achamos o ângulo de rotação.
Passo 3
O próximo passo é realizar a mudança dos eixos coordenados. Pra fazer essa mudança é só guardar essa equação matricial daqui:
Como , temos que:
Daí, temos duas equações:
Massa! Aí, substituindo e na equação dada da cônica, temos:
É galera, vai dar um trabalhinho de conta, mas bora lá!!
Estamos quase lá galera! Agora é só “completar os quadrados”, pra equação ficar bem no formatozinho que queremos. Daí, vê só:
Esse truque de somar e subtrair pelo mesmo número é só pra gente conseguir fechar o quadrado bonitinho. Vamos ficar com:
Aí, substituindo novamente na nossa equação da cônica vamos ter que:
Logo:
Muito bom, galera! Essa é a equação da cônica no eixo rotacionado. Para que essa equação se transforme em um par de retas concorrentes, devemos ter:
Portanto:
É isso aí pessoal! Conseguiram pegar o passo a passo pra ajeitar a equação das cônicas?
Sucesso! Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😉
Resposta
Letra A: .