09) Seja um operador linear do espaço vetorial complexo tal que .

Sabendo que possui autovalores distintos e que é um autovetor de , qual dos seguintes vetores de certamente não é um autovetor de

A)

B)

C)

D)

E)

Começando pela letra A, temos o vetor:

Bora supor que ele seja um autovetor de . Então:

Beleza, mas outra forma de escrever isso, pela linearidade das , vale que:

Só que, pelo enunciado, o vetor é um autovetor de . Vamos chamar de o autovalor associado. Assim:

Substituindo isso na nossa expressão, vamos ter que:

Daí, como logicamente, , chegamos a:

Legal! Esse resultado é muito bom. Porque, pelo enunciado a matriz associada à transformação , ou seja, . Logo, para analisar a equação acima, igualamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Daí, igualando as partes reais, temos:

A única forma dessa equação ser verdadeira é termos . Mas, pelo enunciado, a transformação possui autovalores diferentes, sacaram?

Então, essa equação é um absurdo matemático e a nossa suposição inicial é falha. Ou seja, não pode ser autovetor de .

Excelente! O professor até foi bonzinho e já colocou a resposta na letra A pra gente não precisar perder tempo analisando as outras.

Mas, como nós do Responde Aí gostamos muito de vocês hahaha, vamos mostrar também porque as outras alternativas são válidas.

Bom, as letras B, C e D nos dão três vetores com algo bem interessante. Sabe o que é?

É que todos esses vetores são múltiplos do autovetor . Olha só:

Massa! Isso significa que todos eles também são autovetores de . Lembra que, na realidade, o autovetor gera um autoespaço de autovetores. Ou seja, todos os vetores que são combinação linear (nesse caso, simplesmente múltiplos) de () também serão autovetores.

Já na letra E, temos:

Po, esse vetor meio que caiu de paraquedas aí hahaha. Simplesmente não dá pra dizer se ele é autovetor ou não, ou seja, não temos como garantir que ele não pode ser um autovetor de . Por isso, essa alternativa também não é a resposta.