USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2018, Questão 12.
12. Em , com o produto interno usual, seja um operador linear cujos autovalores distintos são , e e que satisfaz e . Considere as seguintes afirmações:
I. certamente não é simétrico.
II. Se é simétrico, então existem tais que com .
III. certamente é diagonalizável, e existem tais que com .
Está correto apenas o que se afirma em:
(A) II.
(B) II e III.
(C) I.
(D) I e III.
(E) III.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos uma matriz transformação em que que possui três autovalores distintos , e onde e .
A partir daqui, podemos julgar algumas afirmações e dizer quais são verdadeiras!
Entendeu?
Não sabemos quais os valores dos autovalores então pode ser qualquer vetor.
Vamos analisar cada afirmação separadamente e verificar sua veracidade.
Bora lá!
Passo 2
A afirmação I diz que certamente não é simétrico.
Para esse item ser verdadeiro, não podemos ter um núcleo ortonormal a , porém, uma possibilidade é que
Os autoespaços seriam dois a dois ortogonais e, portanto, seria simétrica.
Portanto essa afirmação é falsa.
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Na afirmação II temos justamente o contrário... se é simétrico, então existem tais que com
Usando o mesmo exemplo da afirmação anterior, se a matriz é simétrica e .
Então essa afirmação é verdadeira!
Legal, né?
Passo 4
Por último, no item III diz que certamente é diagonalizável e existem tais que com .
Sabemos que uma matriz é diagonalizavel se seus autovetores forem LI.
Nesse caso, podemos determinar um vetor , com sendo que , e sejam LI.
Esse vetor é dado por
Logo, essa afirmação é falsa!
E com isso, vemos que a alternativa correta é a letra A)!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
(A) II.