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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2018, Questão 11.

11. Seja U um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, seja T : U → U um operador linear e sejam λ 1 , λ 2 e λ 3 autovalores de T dois a dois distintos. Para cada i = 1 ,   2 ,   3 , denote V i = K e r ( T - λ i I ) . Considere as seguintes afirmações:

I. Se d i m U = 4 e d i m V 1 = 2 , então T é simétrico.

II. Se T é simétrico, então V 1 ⊂ V 2 ⊥ ∩ V 3 ⊥ e V 2 ⊂ V 3 ⊥ .

III. Se T é diagonalizável, λ 1 , λ 2 , λ 3 são os únicos autovalores de T e valem as inclusões V 1 ⊂ V 2 ⊥ ∩ V 3 ⊥ e V 2 ⊂ V 3 ⊥ , então T é simétrico.

Está correto o que se afirma em

(A) II e III, apenas.

(B) I, II e III.

(C) I e III, apenas.

(D) II, apenas.

(E) I, apenas.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos um espaço vetorial U e T : U → U em que λ 1 , λ 2 e λ 3 são autovalores de T .

Dado V i = K e r ( T - λ i I ) em que i = 1 ,   2 ,   3 , temos três afirmações e temos que dizer quais são verdadeiras e quais são falsas.

E aí! Preparado? 😎

Vamos analisar cada afirmação separadamente e julgar sua veracidade. Bora lá!

Passo 2

Na afirmação I, temos que se d i m U = 4 e d i m V 1 = 2 , então T é simétrico.

Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja

T = T t

Dessa forma, se T : U → U , T deve ter a mesma dimensão de U para aplicarmos a transformada em U e continuar em U .

Na afirmação foi dito que d i m U = 4 então se V i é dado pelo núcleo de T - λ i I e d i m T = 4 . Então certamente V i deve ter 4 dimensões também. Por exemplo

V i = K e r T - λ i I

V i = K e r a b c d b e f g c f h i d g i j - λ i 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

V i = K e r a - λ i b c d b e - λ i f g c f h - λ i i d g i j - λ i

Concorda que as colunas de V i são L I se a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e … ? Então!

Com isso, vamos que a afirmação I é falsa!

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Na afirmação II temos que se T é simétrico, então V 1 ⊂ V 2 ⊥ ∩ V 3 ⊥ e V 2 ⊂ V 3 ⊥ .

Aqui diz que o autovetor V 1 está contido na interseção dos vetores normais a V 2 e V 3 e que V 2 está contido no vetor perpendicular a V 3 .

Essa é uma propriedade das matrizes simétricas!

Os autovetores associados aos seus autovalores são ortonormais entre si em uma matriz simétrica.

Portanto, a afirmação II é verdadeira!

Passo 4

Por fim, na afirmação III temos que se T é diagonalizável, λ 1 , λ 2 , λ 3 são os únicos autovalores de T e valem as inclusões V 1 ⊂ V 2 ⊥ ∩ V 3 ⊥ e V 2 ⊂ V 3 ⊥ , então T é simétrico.

Sendo T uma matriz diagonalizável, então dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 + dim ⁡ V 3 = dim ⁡ U . As hipóteses que V 1 ⊂ V 2 ⊥ ∩ V 3 ⊥ e V 2 ⊂ V 3 ⊥ implicam que os espaços são dois a dois ortogonais. Então, seja B j uma base ortonormal de V j em que j = 1 ,   2 ,   3 , B = B 1 ∪ B 2 ∪ B 3 é uma base ortonormal de U formada por autovetores de T , portanto T também é simétrico

Portanto, a afirmação III também é verdadeira.

Logo, as alternativas II e III são verdadeiras, o que corresponde a letra A)!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

(A) II e III, apenas.

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