USP, Álgebra Linear 2, P3-2018, Questão 07
07) Considere as seguintes matrizes
, ,
e seja uma matriz que tem e como autovalores. São diagonalizáveis sobre .
A) e , apenas.
B) e , apenas.
C) e , apenas.
D) e , apenas.
E) e .
Passo 1
Faaaala galera, tudo bom com vocês?
Essa questão é bem direta, ela nos dá matrizes explicitamente e ), além da matriz que são dados dois autovalores. O objetivo da questão é determinarmos quais matrizes são diagonalizáveis.
Certo, mas vocês lembram o que a matriz precisa ter para ser diagonalizável?
Então, para uma matriz ser diagonalizável ela precisa ter autovalores distintos. Ou seja, nenhum autovalor pode ter multiplicidade maior do que . Além disso, sempre que uma matriz é simétrica ela é diagonalizável.
Passo 2
Massa! Agora que revisamos um pouco da teoria, vamos analisar cada matriz, uma a uma.
Começando pela matriz Esse caso é bem tranquilo, porque a matriz é simétrica. Assim, logo de cara já podemos afirmar que é diagonalizável.
Olhando agora a matriz , ela infelizmente não é simétrica. Então, vamos precisar calcular os seus autovalores para verificar se todos são diferentes. Daí:
Esse produto vai gerar o polinômio característico. Bora melhorar ele só um pouquinho:
Daí, a gente já pode perceber que as três raízes do polinômio característico, ou seja, os três autovalores são:
,
,
Logo, como os três são diferentes, temos que é diagonalizável.
Massa, agora faltam só e .
Passo 3
Beleza! Analisando , vemos logo que ela não é simétrica. Então, vamos precisar calcular o polinômio característico. Daí:
Logo:
Ou seja, é raiz do polinômio característico com multiplicidade . Logo, não é diagonalizável.
Por último, temos a matriz . São dados dois autovalores dessa matriz, ou seja, duas raízes do polinômio característico dela: e .
Essa informação é bem importante, pois significa que o polinômio característico possui duas raízes complexas. Mas, , ou seja, os termos da matriz são todos reais.
Consequentemente, os coeficientes do polinômio característico também são reais. Assim, pelo teorema das raízes complexas (visto láaaa no ensino médio), os conjugados de e também são raízes. Assim:
Logo, a conclusão que chegamos é que possui autovalores distintos, por isso é diagonalizável!
Prontinho! Apenas e são diagonalizáveis.
Espero que vocês tenham entendido direitinho, até a próxima pessoal 😉
Resposta
Letra A.