USP, Álgebra Linear 2, P3-2018, Questão 06
06) Seja um inteiro maior do que . Considere as seguintes afirmações sobre uma matriz .
Se diagonalizável sobre , então é também diagonalizável sobre .
. Seja o operador linear do espaço vetorial complexo tal que . Se é autovalor de , então
Seja o operador linear do espaço vetorial real tal que Se é diagonal e uma base ortonormal de em relação ao produto interno usual, então é diagonal.
Está correto o que se afirma em:
A) apenas.
B) apenas.
C) e , apenas.
D) e , apenas.
E) e apenas.
Passo 1
Ooi pessoal, como vocês estão?
Aqui temos uma questão tipo V ou F, são dadas três afirmações e precisamos identificar quais são verdadeiras e quais são falsas. Em álgebra linear esse tipo de questão é bem comum, e a ideia é sempre o seguinte:
- Se for verdadeira, então a gente precisa provar na marra mesmo.
- Se for falsa, basta dar um contraexemplo.
Beleza, então bora lá!!!
Passo 2
A afirmação diz que se uma matriz pode ser diagonalizada considerando o conjunto dos complexos, então ela também é diagonalizável considerando o conjunto dos Reais.
Bom, essa é afirmação é um pouco estranha, concorda?
Porque em suma, ela fala que se algo vale para o conjunto mais abrangente (o dos complexos), também vale para o conjunto menor.
Como já achamos ela meio esquisita, vamos procurar algum contraexemplo.
A ideia é pensar em uma matriz que não seja diagonalizável nos reais. Isso ocorre, por exemplo, se as raízes do polinômio característico da matriz não forem reais, mas complexos.
Bora pensar na matriz:
O seu polinômio característico vale:
Logo, ela não tem raízes reais e, portanto, não é diagonalizável nos reais.
Porém, as suas raízes são complexas, e nos complexos podemos dizer que a matriz A é diagonalizável.
Viu? Realmente a afirmação estava estranha, ela é falsa!
Show! Bora pra próxima!
Passo 3
A afirmação considera um operador linear nos complexos, cuja matriz que representa a transformação vale .
Daí, sendo um autovalor de , é verdade que ?
Um ponto importante para lembrarmos é que . Assim, como:
Temos que a matriz que representa a transformação linear possui termos reais, ou seja:
Isso é muito importante, porque significa que o polinômio característico de:
possui coeficientes reais. Daí, pelo teorema das raízes complexas, se é raiz de:
também será raiz desse polinômio, e não apenas isso, mas será raiz com a mesma multiplicidade.
Sendo assim, já que e são raízes de e de com a mesma multiplicidade algébrica, vale que:
Portanto, a afirmação é verdadeira 😊
Passo 4
Pra finalizar, a afirmação diz o seguinte:
Imagina que seja uma transformação linear, com domínio e contradomínio no , de forma que a matriz que representa essa transformação na base canônica, vale:
Beleza! Daí, se A é diagonal e uma base ortonormal de com relação ao produto interno usual, então é diagonal.
Então gente, esse tipo de afirmação é bem complicado de ficar só imaginando pra um caso genérico, porque tem muitas condições. O ideal é a gente fazer um exemplo pra entender melhor o que tá acontecendo, sabe?
Se acontecer desse exemplo mostrar que a afirmação é falsa, melhor ainda. Se não, vamos ter que pensar um pouco mais. Beleza?
Vamos imaginar o caso mais simples, . Então é uma do no .
Por exemplo, imaginemos que seja quase a transformação identidade (se simplificamos demais, podem acontecer várias coincidências e fica difícil chegar em uma conclusão):
Vamos tomar uma base que seja simples também, tipo:
Normalizando ela temos:
Daí:
Esse vetor escrito na base , vale:
Logo:
Fazendo o mesmo processo para o outro vetor da base , temos:
Logo:
Passando para a base , temos:
Logo:
Assim, lembrando que a matriz vale:
Portanto:
Segundo a afirmação, essa matriz deveria ser diagonal. Mas, isso não aconteceu.
Sendo assim, já podemos concluir que a afirmação é falsa!
Com isso finalizamos mais uma questão pessoal, espero que vocês tenham gostado.
Até a próxima 😉
Resposta
Letra A.