A2 T5
Sejam o espaço das matrizes , e o espaço gerado pelo vetor . Considere as afirmativas:
O subconjunto , das matrizes cujo núcleo é igual a , é um subespaço vetorial de .
O subconjunto , das matrizes cujo núcleo contém , é um subespaço vetorial de .
Pode-se afirmar que:
é verdadeira e é verdadeira
é falsa e é verdadeira
é verdadeira e é falsa
é falsa e é falsa
Passo 1
Afirmativa :
Primeiramente, o que esse subconjunto precisa ter para ser um subespaço? Bom, ele precisa ter o elemento nulo! A matriz nula tem o núcleo igual à ? Não!! O núcleo dela é o inteiro! Então só aí já vemos que essa é falsa já que o subconjunto não contém o elemento nulo.
Afirmativa :
Agora temos o subconjunto que contém . Opa, então dessa vez o subconjunto contém o elemento nulo! Já que o núcleo de é o , ele contém . Mas não acaba por aí! Precisamos ver se ela é fechada para soma e para o produto por escalar.
Ta, pensa comigo agora. Se o núcleo da matriz tem que conter (uma reta) quais podem ser os núcleos possíveis? Podem ser o próprio ou o inteiro né? É o único jeito de conter ! Então vamos analisar essas duas possibilidades:
Bom, a única matriz que tem como núcleo o inteiro é a matriz nula . Se a somarmos com qualquer outra matriz do subconjunto vai dar a própria matriz, então é fechado para soma. E se multiplicarmos ela por um escalar, continua ela mesma, então é fechado para o produto por escalar.
Falta analisar as matrizes que tem como núcleo! Seja , e duas matrizes que pertencem ao nosso subconjunto, temos:
Se somarmos as duas matrizes teremos:
E se fizermos o produto por escalar:
Ou seja, nos dois casos, elas continuam com o núcleo contendo !
Então, chegamos à conclusão de que essa é verdadeira! O subconjunto é um subespaço vetorial de .
Resposta
Letra