P4 de Álgebra Linear da UFRJ - 2019.2

Considere as afirmativas:

1. Se possui autovalores distintos então é diagonalizável.
2. Se é diagonalizável então possui autovalores distintos.

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é falsa e (II) é falsa.
3. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
4. (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Seja uma matriz e sejam e autovalores distintos de . Se e são autovetores de associados ao autovalor , qual dos vetores abaixo pode ser um autovetor de associado a .

Sejam e matrizes quadradas.

Considere as afirmativas:

1. é simétrica.
2. Se e são simétricas então é simétrica.

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é falsa e (II) é falsa.
3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Sabe-se que é uma matriz diagonalizável e que seus autovalores são apenas e . A única opção que PODE SER correta é:

Seja uma matriz e sejam e seus autovalores. A dimensão do núcleo de é:

Sejam um subespaço de , a projeção ortogonal sobre e a reflexão ortogonal com relação a . Para um vetor qualquer:

1. Pode-se afirmar que .
2. Pode-se afirmar que .

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é falsa e (II) é falsa.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Considere as afirmativas:

1. Se é invertível, então é invertível.
2. Se é diagonalizável, então é diagonalizável.

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
4. (I) é falsa e (II) é falsa.

Questão extra: Seja uma matriz e seja . Assinale a única afirmação que NÃO necessariamente é verdadeira.

1. Se então é a projeção ortogonal de sobre a .
2. Se , então
3. tem solução única.
4. Se é invertível, a única solução de é .

Considere as afirmativas:

1. Existe tal que
2. Existe tal que

1. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
3. (I) é falsa e (II) é falsa.
4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Calcule o determinante da matriz:

Seja tal que , Calcule

1. .
2. .
3. .
4. .

Que múltiplo do vetor está o mais próximo possível do vetor ?

Considere as seguintes transformações lineares de no : , uma projeção ortogonal sobre um plano, e , uma reflexão através de um plano. Qual das transformações abaixo possui entre seus autovalores?

Calcule a equação da reta que melhor aproxima os pontos no sentido dos mínimos quadrados: