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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

A2 T5 A1 T24 T23 T22

Seja A uma matriz 5 × 5 t.q. A 2 = 0 . Considere as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.

I A imagem de A é subespaço do núcleo de A .

I I A dimensão da imagem de A pode ser 3 .

a   I é verdadeira e I I é verdadeira

b I é verdadeira e I I é falsa

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é falsa e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Pensa comigo, a imagem de A são todos os vetores que as colunas de A podem gerar. E o que acontece quando multiplicamos duas matrizes A B ? Estamos aplicando as colunas de B na matriz A , certo?

Se tivermos A 2 = A A = 0 , então as colunas de A , quando aplicadas em A , levam no zero! Logo, as colunas de A pertencem ao núcleo de A . E se as colunas de A pertencem ao núcleo de A , o subespaço gerado por elas (imagem) está contido no núcleo de A ! Então, de fato, a imagem de A é subespaço do núcleo de A . Verdadeira.

Passo 2

Afirmativa I I :

Acabamos de provar que a imagem de A é subespaço do núcleo de A . Isso implica que:

dim ⁡ I m A ≤ dim ⁡ N u c A

E, pelo T N I :

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = dim ⁡ D o m A

Então se tivéssemos dim ⁡ I m A = 3 , ficaríamos com:

3 + dim ⁡ N u c A = 5

dim ⁡ N u c A = 2

Mas então a dimensão da imagem seria maior que a dimensão do núcleo, e sabemos que dim ⁡ I m A ≤ dim ⁡ N u c A . Logo, essa afirmativa é falsa.

Resposta

Letra b  

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No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão