P3 de Álgebra Linear da UFRJ - 2013.1

Seja o espaço dos polinômios de grau , com um produto interno dado.

O complemento ortogonal do espaço gerado pelos vetores tem dimensão:

1

Considere o produto interno usual de e sejam e  .

Calcule a distância de a .

Seja

O vetor é um autovetor associado ao autovalor .

O valor de é:

A equação que modela um determinado fenômeno físico é dada por .

Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:

Os valores de e , de forma a obter a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados são:

Considere o produto interno usual do e seja um conjuto de vetores não nulos.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

Se não existirem dois vetores de ortogonais entre si então é linearmente dependente.

Se é linearmente independente então pelo menos dois vetores de são ortogonais entre si.

Se é linearmente independente então os vetores de são todos ortogonais entre si.

De é linearmente dependente então os vetores de não podem ser todos ortogonais entre si.

Considere no espaço vetorial (isto é, os polinômios de grau ) o produto interno dado por .

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

e são ortogonais

e são ortogonais

e são ortogonais

e são ortogonais

Suponha que a matriz é e que sua imagem é gerada pelo vetor .

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

O núcleo de é o conjunto de soluções de

O núcleo de é gerado pelo vetor

O núcleo de é o conjunto de soluções de

A imagem de é o conjunto de soluções de

Considere a matriz

Quais são os seus autovalores?

e

e

e

e

Seja o polinômio característico da matriz .

Assinale a alternativa FALSA:

As raízes de são iguais às raízes de

Se todas as raízes de são iguais então é diagonalizável

Se todas as raízes de são complexas então não tem autovetores

Se todas as raízes de são iguais então tem autovetor

Suponha que a matriz tem dois autovalores distintos, e , e que

são autovetores associados ao autovalor .

Qual dos vetores abaixo poderia ser um autovetor associado a ?

Dizemos que a matriz é antissimétrica se e simétrica se .

Assinale a alternativa FALSA:

Se é antissimétrica e diagonal então é a matriz nula

Se é antissimétrica e triangular então é a matriz nula

Se é simétrica e antissimétrica então é a matriz nula

Se é simétrica e triangular então é a matriz nula

Seja uma matriz qualquer.

Assinaline a alternativa FALSA:

Se é inversível então é inversível

Se é injetora então é injetora

Se é simétrica então é simétrica

Se é diagonalizável então é diagonalizável

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. Calcule a soma dos elementos da primeira linha de .

Se , e são os autovalores de uma matriz , então os autovalores de são:

Considere o produto interno usual do . Calcule a projeção ortogonal do vetor à reta na direção do vetor :

Seja a projeção ortogonal do no plano , seguida da multiplicação por . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

Os autovalores de são e

Os autovalores de são e

Os autovalores de são e

Os autovalores de são e