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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

A5 T6 T3, A4 T12, A3 T22

Seja T a projeção ortogonal do R 3 no plano 2 x + 3 y - z = 0 , seguida da multiplicação por 4 . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) Os autovalores de T são 4 ,   1 e 0

( b ) Os autovalores de T são 4 ,   - 4 e 0

( c ) Os autovalores de T são 4 ,   0 e 0

( d ) Os autovalores de T são 4 ,   4 e 0

Passo 1

Vamos dividir por partes isso aí. Primeiro temos uma operação de projeção sobre um plano no R 3 . Sabemos que a matriz que representa essa transformação têm autovalores 1 ,   1 e 0 . Vamos chamar essa matriz de P H .

Em seguida, temos uma matriz que multiplica todo vetor por 4 . Isso quer dizer que ela possui autovalores 4 , 4 e 4 . Também sabemos que qualquer vetor do R 3 é um autovetor dessa matriz, já que ela multiplica todos eles por 4 . Essa matriz vamos chamar de M .

Sabemos que A = P H M . Então vamos fazer o seguinte. Tomamos v 1 e v 2 uma base para o plano 2 x + 3 y - z = 0 e v 3 uma base para o complemento ortogonal desse plano ok? Temos então que:

P H v 1 = v 1

P H v 2 = v 2

P H v 3 = 0

Ou seja, eles são os autovetores de P H . Mas também sabemos que eles formam uma base para o R 3 então eles também são uma base de autovetores de M concorda? Vamos diagonalizar esse produto então:

A = P H M =

= ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ - 1 ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ ⏟ I 4 0 0 0 4 0 0 0 4 ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ - 1 =

= ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 4 ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ - 1 =

↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ 4 0 0 0 4 0 0 0 0 ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ - 1

Então temos que:

A = ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ 4 0 0 0 4 0 0 0 0 ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓ - 1

Ou seja, os autovalores de A são 4 , 4 e 0 .

Resposta

Letra ( d )

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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