Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Considere o produto interno usual do R n e seja S um conjuto de vetores não nulos.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

( a ) Se não existirem dois vetores de S ortogonais entre si então S é linearmente dependente.

( b ) Se S é linearmente independente então pelo menos dois vetores de S são ortogonais entre si.

( c ) Se S é linearmente independente então os vetores de S são todos ortogonais entre si.

( d ) De S é linearmente dependente então os vetores de S não podem ser todos ortogonais entre si.

Passo 1

Podemos facilmente escolher um conjunto em que não existem vetores ortogonais mas S é L I . Veja o conjunto:

1,1 ,   1,0

Eles não são múltiplos, logo são L I . Mas:

1 ,   1 ∙ 1 ,   0 = 1 × 1 + 1 × 0 = 1

Logo não são ortogonais.

Vemos então que pode existir um conjunto não-ortogonal que seja LI.

Com esse exemplo descartamos as letras ( a ) e ( c ) .

Descartamos também a letra ( b ) ,pois S é L I e não existem nem dois vetores ortogonais.

Passo 2

Só nos resta a ( d ) !

Se S é L D , então obrigatoriamente um vetor do conjunto é combinação linear de outros dois.

Isso significa que esse vetor pertence ao plano que define os outros dois, e mesmo que ele seja ortogonal a um dos vetores, vai pertencer ao plano.

Logo ele não é ortogonal (ou perpendicular) ao plano, e por isso não é ortogonal a pelo menos um dos 2 vetores.

Então é verdade: um conjunto L D não pode ser um conjunto ortogonal.

Resposta

Letra ( d ) .

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