A5 T1; A1 T24; A5 T6
Seja uma matriz qualquer.
Assinaline a alternativa FALSA:
Se é inversível então é inversível
Se é injetora então é injetora
Se é simétrica então é simétrica
Se é diagonalizável então é diagonalizável
Passo 1
Vamos letra por letra:
Se uma matriz é inversível, então .
Mas sabemos que .
Assim, , e portanto é inversível também.
Passo 2
Sabemos que se é injetiva, então .
Considere que , por exemplo.
Ela equivale a uma transformação .
Sabemos que:
Isso é possível, já que o contradomínio é , e .
Agora olha só o que acontece com !!!
Sabemos que nesse caso é , e equivale a uma função linear :
Será que o núcleo de também é vetor nulo?
Mas se o contradomínio é então e portanto .
Mas se o núcleo for então o posto de é !!!
Por isso concluímos que que e portanto não é injetora. A letra é falsa.
Passo 3
Essa é tranquila!
Se é simétrica, então . Elas são a mesma matriz!
Então é simétrica também.
Passo 4
Opa, eu falei que aquela dica ia ser útil! Se uma matriz é diagonalizável sabemos que também é, fim de papo.
A letra é verdadeira.
Resposta
Letra