A5 T6; A5 T1
Seja o polinômio característico da matriz .
Assinale a alternativa FALSA:
As raízes de são iguais às raízes de
Se todas as raízes de são iguais então é diagonalizável
Se todas as raízes de são complexas então não tem autovetores
Se todas as raízes de são iguais então tem autovetor
Passo 1
Sim! As raízes de são os autovalores de . E já sabemos que os autovalores de e são iguais. Logo, suas raízes são as mesmas.
Passo 2
Essa não é verdade!
Se as raízes de são iguais, temos um sério problema.
Apenas um autovalor!
Se esse autovalor gerar os autovetores , então a matriz é diagonalizável.
Mas pode acontecer que esse autovalor gere apenas um autovetor (um autoespaço de dimensão 1). Nesse caso a matriz não seria diagonalizável.
Passo 3
Olha só a .
Se as raízes são complexas, então não existe nenhum autovalor real.
Logo não pode existir também nenhum autovetor real. Verdadeira.
Passo 4
Se as raízes forem iguais, haverá apenas um autovalor real .
Se existe um autovalor, existem necessariamente autovetores associados a ele, nem que seja apenas um autoespaço de dimensão . Então essa está certa.
Resposta
Letra