Seja p A o polinômio característico da matriz A .

Assinale a alternativa FALSA:

( a ) As raízes de p A são iguais às raízes de p A T

( b ) Se todas as raízes de p A são iguais então A é diagonalizável

( c ) Se todas as raízes de p A são complexas então A não tem autovetores

( d ) Se todas as raízes de p A são iguais então A tem autovetor

Passo 1

a   Sim! As raízes de p A são os autovalores de A . E já sabemos que os autovalores de A e A T são iguais. Logo, suas raízes são as mesmas.

Passo 2

Essa ( b ) não é verdade!

Se as raízes de p A são iguais, temos um sério problema.

Apenas um autovalor!

Se esse autovalor gerar os n autovetores L I , então a matriz é diagonalizável.

Mas pode acontecer que esse autovalor gere apenas um autovetor L I (um autoespaço de dimensão 1). Nesse caso a matriz não seria diagonalizável.

Passo 3

Olha só a ( c ) .

Se as raízes são complexas, então não existe nenhum autovalor real.

Logo não pode existir também nenhum autovetor real. Verdadeira.

Passo 4

d   Se as raízes forem iguais, haverá apenas um autovalor real λ .

Se existe um autovalor, existem necessariamente autovetores associados a ele, nem que seja apenas um autoespaço de dimensão 1 . Então essa está certa.

Resposta

Letra ( b )

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