P3 de Álgebra Linear da UFRJ - 2014.2

A matriz tem três autovalores distintos, , e . Os vetores e são autovetores associados a e respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a :

Seja uma transformação linear que multiplica os vetores e por . Seja a matriz de em uma base qualquer. Calcule a soma dos elementos da diagonal de .

Seja linear e base de tal que , e . Qual dentre as matrizes abaixo é a representação matricial de utilizando a base no domínio e no contradomínio?

Seja o conjunto solução do sistema

Compute a projeção ortogonal de sobre .

As matrizes dos enunciados abaixo têm todos os autovalores reais.

1. Seja uma matriz não diagonalizável. Suponha que dois dos autovalores de tenham autoespaços de dimensão e respectivamente. Então tem exatamente autovalores distintos.
2. Se possui exatamente autovalores distintos, então não é diagonalizável.

Ambas são verdadeiras.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Seja uma rotação em torno do eixo gerado por . Suponha que mande o vetor no vetor . Calcule o ângulo da rotação. (Sugestão: Utilize a projeção no plano perpendicular ao eixo de rotação)

graus

graus

graus

graus

é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual a dimensão do Núcleo de ?

Dada a matriz , os autovetores de associados ao menor autovalor de são da forma:

,

Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano ?

Seja uma matriz quadrada . Então pode ser:

1. Uma matriz inversível tal que a dimensão da imagem de é .
2. Uma matriz simétrica com apenas autovalores distintos.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

A afirmação é falsa e a é verdadeira.

Ambas são falsas.

Ambas são verdadeiras.

Assinale a matriz abaixo que é diagonalizável:

Sejam e vetores-coluna não nulos de . Qual a dimensão da imagem da matriz

Sejam e vetores ortogonais de tal que e . Qual dos vetores abaixo pode ser o vetor ?

Qual vetor abaixo pode ser a diagonal de um cubo de arestas de comprimento unitário em ?

Assinale o polinômio que melhor aproxima os pontos , , e no sentido dos mínimos quadrados: