Seja A uma matriz quadrada 5 × 5 . Então A pode ser:

  1. Uma matriz inversível tal que a dimensão da imagem de A é 4 .
  2. Uma matriz simétrica com apenas 4 autovalores distintos.

( a ) A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

( b ) A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

( c ) Ambas são falsas.

( d ) Ambas são verdadeiras.

Passo 1

Afirmativa I :

Se a dimensão da imagem é igual a 4 , pelo T N I temos:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = dim ⁡ D o m A

4 + dim ⁡ N u c A = 5

dim ⁡ N u c A = 1

Opa, como a dimensão do nosso núcleo é maior que 0 então a matriz não pode ser invertível! Essa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

Pelo Teorema Espectral, se uma matriz é simétrica ela é diagonalizável. Para ela ser diagonalizável ela precisa que a soma das dimensões de seus autoespaços seja igual à dimensão de seu domínio.

Como temos 4 autovalores distintos, basta que um deles tenha multiplicidade geométrica igual a 2 . Nesse caso teremos que a soma da dimensão dos autoespaços será:

2 + 1 + 1 + 1 = 5 = dim ⁡ D o m A

Logo, é possível sim que ela seja simétrica com 4 autovalores distintos.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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