Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

A5 T2

Seja uma transformação linear que multiplica os vetores e por . Seja a matriz de em uma base qualquer. Calcule a soma dos elementos da diagonal de .

Passo 1

Sabemos que, não importa a base em que esteja, seus autovalores sempre serão os mesmos! O que muda de uma base para a outra são os autovetores mas isso não nos interessa nesse exercício ;)

Nós só precisamos dos autovalores porque o exercício pede a soma dos elementos da diagonal de , que é exatamente a soma dos autovalores, já que:

Além disso, como estamos falando de uma transformação no , sabemos que seu polinômio característico terá duas raízes, ou seja, dois autovalores. E esses autovalores são dados pra gente!

Repare que temos um plano (formado pelos vetores e ) associado ao autovalor ! Logo, o autovalor tem multiplicidade geométrica ! E como nosso polinômio característico só pode ter duas raízes ele tem que ter multiplicidade algébrica também. Logo:

Resposta

Letra

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Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4

Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )