A5 T6
As matrizes dos enunciados abaixo têm todos os autovalores reais.
- Seja uma matriz não diagonalizável. Suponha que dois dos autovalores de tenham autoespaços de dimensão e respectivamente. Então tem exatamente autovalores distintos.
- Se possui exatamente autovalores distintos, então não é diagonalizável.
Ambas são verdadeiras.
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
Ambas são falsas.
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
Passo 1
Ta, primeira coisa aqui, todo autovalor possui um autoespaço de dimensão no mínimo associado à ele. Além disso esse autoespaço é se o autovalor for diferente dos outros.
Segunda coisa, se uma matriz é diagonalizável, então a soma das dimensões dos autoespaços dessa matriz tem que ser igual a dimensão do seu domínio. Em outras palavras, a soma da multiplicidade geométrica de seus autovalores tem que ser a dimensão de seu domínio.
Beleza, vamos as opções.
Passo 2
Afirmativa :
Ele afirma que não é diagonalizável, logo a soma das multiplicidades geométricas de seus autovalores deve ser menor que :
Ele também diz que dois dos autovalores de possuem autoespaços de dimensão e :
Ele então afirma que tem exatamente dois autovalores distintos. Bom, já sabemos que tem dois autovalores distintos. A questão é, será que podia ter mais? Assumindo que exista um , teríamos:
Se somarmos as que já temos ficamos com . Logo, se a multiplicidade geométrica de fosse igual a teríamos:
Ou seja, pode sim existir um terceiro autovalor, contanto que ele tenha um autoespaço de dimensão . Essa é falsa.
Passo 3
Afirmativa :
Aqui temos uma matriz com autovalores distintos. Logo,
Repare que ele não fala nada à respeito da multiplicidade geométrica desses autovalores, então só podemos dizer que ela é pelo menos igual a . Em seguida, ele afirma que não é diagonalizável. Isso é completamente falso!
Como vimos, os autovalores possuem de no mínimo , então se um deles tivesse , teríamos:
Logo, pode ser diagonalizável sim, basta que um dos autovalores esteja associado à um plano! Essa é falsa.
Obs.: Só uma observação. Isso não interfere muito na questão mas repare que caso um dos autovalores tenha ou outros necessariamente terão ! Isso porque a soma das multiplicidades geométricas nunca vai ultrapassar a dimensão do domínio da nossa matriz ;)
Resposta
Letra