Seja β = 1 - x 2 , x + 1 , x - 1 uma base de P 2 . Se p x = 1 + 4 x - 2 x 2 então a soma das coordenadas de p na base β é:

a   6

b   8

c   1

d   3

Passo 1

Não tem segredo, só fazer aquele passo a passo pra trocar a base. O problema dessa questão são os polinômios, mas vem comigo que vou mostrar que não é nenhum bicho de sete cabeças haha.

Temos que escrever p x em função dos polinômios de β :

1 + 4 x - 2 x 2 = a 1 - x 2 + b x + 1 + c x - 1

1 + 4 x - 2 x 2 = a - a x 2 + b x + b + c x - c

1 + 4 x - 2 x 2 = a + b - c + b + c x - a x 2

Então chegamos no sistema:

a + b - c = 1 b + c = 4 - a = - 2       I I I I I I

De I I temos: b = 4 - c       I V

Substituindo I V e I I I em I :

2 + 4 - c - c = 1

c = 5 2

Substituindo em I V :

b = 3 2

Agora somando as coordenadas:

a + b + c = 2 + 3 2 + 5 2 = 6

Passo 2

Se mesmo assim você ainda não entendeu direito, o que é normal porque você usa tanto vetor em álgebra que quando aparece polinômio você tem um bloqueio mental haha. Sem problemas, podemos usar vetores! É só passar tudo para a base canônica 1 , x , x 2 de P 2 . Vamos ficar com:

β = 1,0 , - 1 , 1,1 , 0 , - 1,1 , 0

p x = 1,4 , - 2

Pronto, agora virou um exercício básico de vetores:

1,4 , - 2 = a 1,0 , - 1 + b 1,1 , 0 + c - 1,1 , 0

Vamos cair no mesmo sistema e teremos a mesma resposta ;)

Resposta

Letra ( a )

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