Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

A5 T2 T1

Seja o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a . Considere a transformação linear dada por:

Qual é a soma das dimensões dos autoespaços de ?

Passo 1

Não sabemos nenhuma forma de descobrir isso diretamente com a , então a primeira coisa que temos que fazer é escrevê-la em alguma base de . Para ficar mais fácil montar a matriz, ao invés de usar a base canônica, vamos usar essa base aqui:

Na forma matricial:

Se tivéssemos usado a base canônica, o viria primeiro e o viria por último o que ficaria meio contra intuitivo e poderia gerar algum erro.

Passo 2

Agora é só aplicar aquele passo a passo de sempre para acharmos os autoespaços:

Temos apenas um autovalor, então é só acharmos a dimensão do autoespaço associado à ele:

Temos apenas como condição, então e são livres e nosso autoespaço associado tem dimensão .

Resposta

Letra

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Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4

Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )