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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Suponha que T x , y = 40 - x 2 - 2 y 2 represente uma distribuição de temperatura no plano x y e um indivíduo que se encontra na posição 3,2 presente dar um passeio.

  1. Descreva o lugar geométrico dos pontos que ele deveria percorrer para desfrutar sempre da mesma temperatura.
  2. Qual a direção que deveria tomar se quisesse caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?
  3. Se x e y são medidos em k m e a temperatura T em ° C , de quanto a temperatura se elevará aproximadamente, caso caminhe 0,01   k m na direção encontrada no item b ?
  4. De quanto decrescerá aproximadamente a temperatura, caso caminhe 0,01   k m na direção j ^ ?

Passo 1

a )

Ele quer a direção onde função vai ter a mesma temperatura que ele está, primeiro vamos descobrir que temperatura é essa

T 3,2 = 40 - 3 2 - 2 2 2 = 40 - 9 - 8 = 40 - 17 = 23 ° C

Vamos ver agora quando essa função vai ter temperatura 23 ° C

40 - x 2 - 2 y 2 = 23

x 2 + 2 y 2 = 40 - 23 = 17

x 2 + 2 y 2 = 17

Passo 2

b )

Lembra que a direção que ele vai ter a maior derivada direcional é a direção do vetor gradiente? Então precisamos achar o vetor gradiente no ponto 3,2

∇ T = T x , T y = - 2 x , - 4 y

Substituindo o ponto

∇ T 3,2 = - 6 , - 8

Passo 3

c )

Aqui primeiro vamos descobrir a derivada direcional na direção do vetor gradiente para descobrir a variação da temperatura. Depois basta multiplicar essa variação de temperatura pelo quanto ele andou.

Lembra que a derivada direcional na direção do gradiente vai ser o módulo do gradiente?

∇ T = - 6 2 + - 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 ° C / k m

Então ele vai mudar

10 ° C k m . 0,01 k m = 0,1 ° C

Passo 4

Agora ele deu o vetor direção sendo u → = j ^

Vamos achar a derivada direcional nessa direção, já temos o vetor gradiente, e como o vetor direção só tem uma componente já sabemos seu módulo também, então a derivada direcional vai ser

∂ T ∂ u → = - 6 , - 8 ∙ 0,1 1 = - 8 ° C / k m

Como ele andou 0,01   k m vamos ter a seguinte variação de temperatura

8 ° C k m . 0,01 k m = 0,08 ° C

Resposta

  1. x 2 + 2 y 2 = 17
  2. ∇ T 3,2 = - 6 , - 8
  3. 0,1 ° C
  4. 0,08 ° C

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