A temperatura numa câmara cresce com a altura. As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto é diretamente proporcional à altura do ponto. Determine a expressão de em , sabendo-se que é nula quando a altura é zero.
Passo 1
Essas questões que tem proporcionalidade sempre me pegavam... Vamos interpretar com calma cada frase do enunciado e tentar entender o que está acontecendo ;)
A primeira frase diz: “A temperatura numa câmara cresce com a altura”
Tá, o que isso quer dizer?
Significa que a , com e . Ou seja, a função temperatura cresce se cresce, e diminui se diminui. Esse e que colocamos foi meramente para generalizar: veja que se colocássemos e , por exemplo, a frase continua sendo verdade, e isso vale para quaisquer e maiores de ! Esse é uma possível constante independente.
Só mais uma observação: Como o enunciado não disse nada a respeito de e , partimos do princípio que eles não interessam para o cálculo da função temperatura. Quando não temos uma informação, de duas uma: ou ela é irrelevante, ou existe alguma maneira de descobri-la. Nesse caso, parece ser irrelevante.
Passo 2
Vamos agora para a segunda frase: “As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto é diretamente proporcional à altura do ponto.”
Traduzindo o que isso que dizer na prática: Se encontrarmos o vetor gradiente da função temperatura, seu módulo será proporcional à coordenada . Então,
Sendo que é a constante de proporcionalidade (sim, a mesma do passo anterior—ela foi “carregada” junto com o quando derivamos para obter o vetor gradiente!). Dessa vez não tem por que está explícito que é diretamente proporcional a , e não a alguma potência de . Assim, também não colocamos nem nem , porque, mais uma vez, nada dito a respeito dessas variáveis.
Passo 3
Antes de partir para a próxima frase, vamos desenvolver um pouco essa parada do vetor gradiente? Primeiro, encontremos o vetor gradiente:
Como nossa função não tem e , sua derivadas parciais em relação a essa variável são .
Como a função é , sua derivada em relação a fica . E, por fim, o vetor:
E seu módulo é a própria coordenada , pois tirando a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas, tendo duas delas iguais a , dá a que sobrou ;)
Passo 4
Agora vamos pegar esse valor encontrado para o módulo do gradiente de e substituir na equação do passo 2:
Perfeito! Se olharmos para uma equação e para outra, a única maneira de isso ser uma igualdade é se , por que assim , que é o expoente do lado esquerdo, será igual a , que é o expoente do lado direito.
Mas se , então teríamos . E a única maneira disso ser uma igualdade é se colocarmos um fator antes do na própria equação da temperatura, para cancelar com o do .
Então:
Passo 5
Finalmente, última frase! “Determine a expressão de em , sabendo-se que é nula quando a altura é zero”
Ou seja, quando , tudo tem que dar . Isso nos diz que a constante deve ser ! Se ele tivesse dito, por exemplo, que com a altura a temperatura é 5, então deveria ser , sacou?
E a nossa função fica: