6. Considere um vetor unitário e calcule
Passo 1
Vamos começar calculando como ele pede, a derivada direcional pela definição
Temos
O limite vai ficar
Lembrando que , ou seja ele não é zero, então
Voltando para o limite
Passo 2
Vamos analisar esse limite:
- Se for igual a zero, esse limite vai existir e será igual a zero. Pois teremos o caso:
- , teremos uma constante divido por um termo próximo de zero, ou seja, o limite não vai existir. Estaríamos no caso:
Ou seja, .Duas possibilidades:
Ou
Pois são coordenadas de um vetor unitário.
Então temos:
Portanto, para todos os outros valores de a derivada parcial não existe.
Resposta
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