Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

14. Verificou-se que a densidade do ar em certa região industrial é mais sensível na direção vertical e que a taxa de variação é inversamente proporcional ao quadrado da altura. Estude a densidade do ar sabendo que tende a zero quando a altura tende a infinito.

Passo 1

O problema diz que a densidade do ar é mais sensível na direção vertical, então já sabemos que ela é função da altura z , e a princípio não consideramos a influência da posição ao longo do eixo x do eixo y .

Diz ainda que a taxa de variação é inversamente proporcional ao quadrado da altura. Temos:

d T x , y , z d z = k z 2

Passo 2

Ajeitando:

d T = k z - 2 d z

Integrando:

∫ d T = ∫ k z - 2 d z

T x , y , z = - k z + C

Passo 3

O problema diz que tende a zero quando a altura tende ao infinito, então temos:

li m z → ∞ ⁡ T x , y , z = 0

Temos:

C = 0

Passo 4

A equação fica:

T x , y , z = - k z

Porém como a densidade é algo positivo, podemos expressá-la assim:

T x , y , z = k z ,   k > 0

Resposta

T x , y , z = k z ,   k > 0

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Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
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Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu