Uma função de classe tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção do vetor e igual a na direção do vetor . Calcule:
- , onde tem a direção do vetor
Passo 1
Vamos começar usando a derivada direcional na direção de .
Para calcularmos a derivada direcional devemos primeiro achar o vetor gradiente da função , para isso fazemos
Agora trocamos os valores de e do ponto
Como não temos a função vamos deixar assim mesmo
Passo 2
Agora temos que achar o módulo de
A derivada direcional vai ser
Ele disse que essa derivada direciona vai ser então
Mas isso não resolve nada né? Vamos fazer a derivada direcional na outra direção agora.
Passo 3
Agora vamos achar a derivada direcional na direção
O vetor gradiente não muda quando mudamos a direção da derivada direcional certo? Então ele continua sendo
Vamos agora achar o módulo do vetor
A derivada direcional vai ser
Ele disse que essa derivada direciona vai ser então
Vamos juntar as duas equações que achamos
Passo 4
Temos o seguinte sistema
Para resolver esse sistema vamos multiplicar a primeira equação por e a segunda por e somar as duas equações
Somando vamos ter
Usando a primeira equação vamos ter
Então o vetor gradiente vai ser
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada direcional na direção
Já temos o vetor gradiente no ponto
Precisamos achar o módulo de
A derivada direcional vai ser