A temperatura de uma chapa plana é dada por . A partir do ponto , determine:

1. O gradiente da temperatura
2. A direção em que a temperatura cresce mais rápido e qual a taxa de crescimento.
3. A direção em que a temperatura decresce mais rápido e qual a taxa de decrescimento.
4. , em que faz um ângulo de com o gradiente de em

b) A direção que a temperatura cresce mais rápido é a do vetor gradiente, certo? Então metade da letra já tá aí: Direção de maior crescimento é .

Partiu calcular agora qual é o valor dessa derivada. Para isso, só tirar o módulo do vetor gradiente no ponto , ou seja, o módulo do vetor

c) Muito parecida com a anterior... Aliás, seria igual se não fosse um sinal XD

Lembra qual é a menor taxa de variação que se pode ter numa função? É o oposto da taxa do vetor gradiente, ou seja, na direção do vetor .

E o valor dessa taxa é o módulo do vetor gradiente com um menos na frente: (já calculamos no passo anterior, é exatamente a mesma coisa).

d) Agora ele tá pedindo a derivada direcional no ponto na direção do vetor . Que vetor é esse? Ora, é qualquer um unitário que faça ângulo de com o vetor gradiente. Assim, só jogar na fórmula da derivada direcional:

OBS: Como é unitário, não precisa dividir pela norma, mas fique sempre alerta para ver se o vetor do enunciado é realmente unitário!

Colocando o valor do gradiente no ponto ,

E então? O que fazer? Só esse produto escalar! Como não sabemos as coordenadas do vetor , temos que usar a definição do produto escalar pelo módulo, que é o módulo de um vetor vezes o do outro vezes o cosseno do ângulo entre os vetores. Como esse ângulo é ,

Em que é o módulo do vetor gradiente, já calculado na letra e , é a norma do vetor unitário, e é o valor de