Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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12. Num balão a temperatura em qualquer ponto diferente do centro é positiva e proporcional ao quadrado de sua distância ao centro . Calcule a taxa de variação da temperatura em seguindo um vetor unitário . Caracterize as taxas máxima, mínima e nula no ponto .
Passo 1
O problema diz que a temperatura em qualquer ponto diferente do centro é positiva e proporcional ao quadrado de sua distância ao centro .
Vamos chamar essa distância de . Portanto a temperatura é dada por:
Passo 2
Ele quer que calculemos:
Como o vetor é unitário a fórmula fica:
Agora, devemos encontrar o vetor gradiente:
Portanto, a derivada direcional fica:
Passo 3
A taxa máxima é dada pelo módulo do gradiente, ou seja:
Passo 4
A taxa mínima é o simétrico da taxa máxima:
Passo 5
A taxa nula ocorre nos dois sentidos perpendiculares a , pois o produto escalar entre o gradiente e o vetor é zero.
Resposta
Derivada direcional:
Taxa Máxima:
Taxa Mínima:
Taxa nula:
A taxa nula ocorre nos dois sentidos perpendiculares a