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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

USP probabilidade P1 2017

Considere quatro caixas, cada uma contendo duas moedas. A primeira caixa contém duas moedas de ouro, assim como a segunda; a terceira caixa contém uma moeda de ouro e uma de prata; e a quarta caixa contém duas moedas de prata. Escolho aleatoriamente uma das quatro caixas, e retiro dela uma moeda, também aleatoriamente. Se a moeda que retirei da caixa é de ouro, a probabilidade de que a moeda dentro da caixa também seja de ouro é:

Passo 1

Fala pessoal, essa é uma questão de probabilidade condicional. O que queremos calcular é: P r e t i r a r   2   o u r o s     r e t i r e i   1   o u r o

Temos que cada caixa C 1 ,   C 2 ,   C 3 ,   C 4   são equiprováveis com o seguinte inventário:

C 1   Tem 2 ouros

C 2   Tem 2 ouros

C 3   Tem 1 ouro e 1 prata

C 4   Tem 2 pratas

Passo 2

Agora vamos usar a definição de probabilidade condicional

P r e t i r a r   2   o u r o s     r e t i r e i   1   =   P r e t i r a r   2   o u r o s ,   r e t i r a r   1 P r e t i r a r   1

É claro que P r e t i r a r   2   o u r o s ,   r e t i r a r   1   = P r e t i r a r   2   o u r o s   =   1 2  

Pois só é possível retirar dois ouros se escolhermos C 1 ou C 2 , e isso ocorre com probabilidade 1 2 , já que as caixas tem a mesma probabilidade de serem escolhidas.

Passo 3

Agora precisamos calcular P r e t i r a r   1   o u r o .

P r e t i r a r   1   o u r o   =     P C 1   +   P C 2   +   1 2 P C 3 , ou seja, é a soma das probabilidades de escolher uma caixa que contenha ouro vezes a probabilidade de escolher a moeda de ouro.

P r e t i r a r   1   o u r o   =     P C 1   +   P C 2   +   1 2 P C 3   =     1 4   +   1 4   + 1 4 ⋅ 1 2   =   5 8

Passo 4

Agora podemos calcular P r e t i r a r   2   o u r o s     r e t i r e i   1

P r e t i r a r   2   o u r o s     r e t i r e i   1 = 1 2 5 8   =   4 5

Resposta

4 5

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